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函数概念的发展历程

甘肃省永靖中学 张旭东

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函数的概念背景、发展yxykxbyx2yax2bxcykx简单的幂函数yx3yx1一些基本的函数模型指数函数对数函数离散函数三角函数实际的函数模型等差数列等比数列正弦正切分段函数会用函数描述规律实际中的应用应用的三个层次会套用函数模型解决简单世纪问题会用函数进行数学建模余弦函数函数的应用用函数认识方程用函数认识不等式用函数认识简单线性规划数学内部的应用用函数认识算法用函数认识随机现象代数运算研究函数的方法导数

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一、函数概念的发展

1 函数概念的初步形成

函数一词,最初是在莱布尼兹1673年的一篇手稿里使用的,它用来表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量,如切线、法线、次切线的长度以及纵坐标等.后来莱布尼兹在他的著作《历史》(1714年)中用函数一词来表示依赖于一个变量的量,这之后函数才在与其现代概念接近的意义上逐渐流行起来.汉语中的“函数”一词,是1859年清代数学家李善兰在翻译《代数学》一书时所采用的翻译名词,这种用法我国和日本一直沿续至今.之所以取这个名字,大概是因为“函”和“含”谐音,取“一个式子中含有数字符号”的意义吧. 瑞士著名数学家约翰·伯努利1718年给函数下了如下定义:由任一变数和常数的任一形式所构成的量.约翰的学生，18世纪著名的数学家欧拉在他的《无穷小分析引论》(1748年)中进一步推广了他老师的定义,他说:“常量是指永远保持同一值的确定的量”,“变量是指不取定值的量或者说通用的量,它本身蕴涵了一切通用的值”,“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式”.1755年,欧拉在他的《微分学原理》的序言中又给出了如下定义:“如果某些量以这样的方式依赖于另一些量,即当后面这些量变化时,前面这些变量也随之变化,则将前面的变量称为后面变量的函数.早在1734年欧拉就给出了非常形象的、一直沿用至今的函数符号f(x).欧拉用“解析表达式”替代了约翰的“任意形式”,明确地表述了变量之间相互依赖的变化关系,这使我们对函数概念的认识在严密性上前进了一大步,它反映了数学在对现实关系的摹写上的进化.拉格朗日毫无疑问借鉴了其他一些人的工作，1797年,进一步给出了函数的一个定义:所谓一个或几个量的函数是指任意一个适于计算的表达式,这些量以任意方式出现于表达式中,表达式中可以有(也可以没有)其它一些被称为具有给定和不变值的量,而函数的量值可以取所有可能的量值. 随着函数概念的大量采用,微积分开始走上了形式化的道路.求速度和加速度、求切线方程、求函数的最大值和最小值、求曲线长和曲线所围的面积、曲面所围的体积等,这些曾引发微积分诞生的问题,在函数思想的影响下,又迅速地把微积分引向代数化的道路.这个过程反过来也刺激了函数概念的发展,

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促使人们从更严密的角度来考察它.在这个时期不仅使用了已知的所有函数,而且使初等函数达到了相当复杂的形式,初等函数被充分认识到了,并实际上已将它们发展成为我们今天所见到的样子，对数函数已有了系统的研究,三角函数的数学已经系统化了.欧拉概括了多项式、幂级数、对数表达式与三角表达式,他还定义了多元函数,区分了代数函数和超越函数、显函数和隐函数. 到18世纪后半叶,对函数的理解除了原先确立的变量之间对应变化的思想之外,还认识到了函数必须有解析的表达式——或者是有限的多项式,或者是无穷级数.从数学角度讲,用确定的解析式来表达函数是它正当的要求.但问题正出于此,函数是否一定有解析式,解析式是否一定唯一,傅立叶、狄里赫莱等,还有欧拉、拉格朗日等人的工作再次证明了当下对函数概念理解的局限性,并由此开始了对函数的进一步探讨. 2 函数概念的确立

18世纪后半叶在关于弦振动问题的大讨论中,欧拉和拉格朗日开始允许函数在不同的区域上有不同的表达式,而这样又导致函数在连续性上破绽百出,这一切促使欧拉、拉格朗日、达兰贝尔等数学家们不得不重新考虑函数的概念. 傅立叶的工作根本地改变了函数的面貌,震惊了当时的数学界.他一方面认为有限区间上的函数未必仅有唯一的表达式,另一方面又认为函数必须用解析式来表达,这靠他发明的傅立叶级数理论来支持.后来人们又证明了不仅仅周期函数,任一连续函数在(-π,π)上都可以用正弦或余弦函数给出.后来著名的数学家柯西也发现了即使在简单函数中也存在着表达式不唯一的情形,看来函数解析式唯一的论断是站不住脚了.柯西在他1821年所写的《解析教程》以及1823年所写的《微分学纲要》中给出了函数的如下定义:“当变量之间这样联系起来的时候,即给定了这些变量中的一个值,就可以决定所有其它变量的值的时候,人们通常想象这些量是用其中的一个来表达的,这时这个量就取名为自变量,而由这自变量表示的其它量就叫做这个自变量的函数.”在这个定义中,柯西对函数的解析表达式做了较少地限制,而着重从变量之间的对应变化关系着手叙述了函数的概念，尽管如此,柯西仍然希望用“自变量”来表示“其他的量”. 著名的狄里赫莱函数的出现无疑是给柯西出了个难题,它是数学家狄里赫

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莱发明的:当自变量x为有理数时,y取1;当自变量x为无理数时,y取0.这个函数是不容易用解析式来表达的.所以1837年狄里赫莱也给函数下了一个定义:如果对于给定区间上的每一个x的值有唯一的y值同它对应,那么y就是x的一个函数,至于在整个区间上y是否按照一种或多种规律依赖于x,或者y依赖于x是否可用数学运算来表达,那都是无关紧要的. 这个定义和我们现在中学教科书中的函数概念已经很接近了,它不仅把变量之间的关系描述为对应变化的关系,而且就函数的解析表达式也做了讨论,使我们对函数概念的认识在严密性上又做了一次飞跃.在此基础上,柯西、黎曼、波尔查诺、维尔斯特拉斯等围绕函数概念,广泛地研究了函数的连续性、可微性、可积性、闭区间上函数的最大值和最小值等问题,极大地推动了分析学的发展. 3 函数概念的再次发展

19世纪末20世纪初,把函数看作一种对应或者映射的思想已经完成.随着数学研究方法和研究领域的迅速发展,这种映射的自变量、应变量的取值范围也在不断地发生变化.如果说前面两个世纪的人们把更多的注意力投放在函数的解析式上,那么20世纪的数学家开始关注自变量的取值范围,这不仅是因为实际问题给数学提出了相应的课题,更主要的是20世纪初诞生的集合论彻底地改变了人们思考问题的方式. 其实早在18世纪,约翰·伯努利、欧拉等人在最速降线等问题的研究中就拓广了自变量的取值范围,他们允许自变量取函数,从而开创了泛函分析的研究.这之后,把函数自变量的取值范围从实数域扩大到了复数域,相应地就有了实变函数论和复变函数论的区分.再有自变量在一个区间上的取值情况变得复杂起来,它有时可以无限制地取遍该区间上的所有值,有时必须按特定条件取值,新的情况促使人们寻找新的视角来定义函数的概念. 从19世纪70年代开始,康托尔在证明了任意函数都可以唯一地展成傅立叶级数后,发表了一系列的文章,系统地分析和刻画了实数的连续性和无穷集合的性质,从而开创了一个崭新的数学分支——集合论.没有用多少年,到20世纪初,集合论的思想和方法就开始深入到数学的各个领域,著名的数学家庞加莱在1900年的国际数学家大会上宣布:“由于有了集合论,现在我们可以说,

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数学的完全严格性已经达到了”. 二、理解并掌握函数的定义

函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，函数的概念还会继续扩展. 函数的定义是公认的比较难以理解的一个定义.我们在任何一个生活情景中，都会发现许多描述规律的函数关系.在其他学科，如物理、化学、生物、地理、社会、经济等学科中，描述规律的函数关系比比皆是.例如，在物理中刻画物体运动时，路程随着时间的变化而变化；世界人口数量是随着时间的变化而变化的.这些变量之间都有着密切的依赖关系，而且，这种变量之间的依赖关系具有一个突出的特征，当自变量取定的时候，因变量也为已确定. 三、对基本函数模型的认识和把握

仅仅了解函数的定义，并不能很好地理解函数.理解函数一个重要方法，就是在头脑中留住一批具体函数的模型.在高中阶段，学生应掌握的基本函数模型有：指数函数、对数函数、简单的幂函数、三角函数、数列，还有简单的分段函数等等，这些都是基本的、重要的函数模型.应该把函数概念的整体理解与每一个具体的模型有机地结合起来.我们在对每一个具体函数模型教学的过程中，可以通过这些函数的解析式、函数图像、变量与变量之间的依赖关系来理解函数概念. 四、函数的应用

这里最重要的就是函数、方程与不等式的联系，实际上所有高中数学中代数的部分，都最终化成这三者解决的. 例如，用函数讨论方程的根的问题，教学中尽量让学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，因此分三步来展开这部分的内容.第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形.第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图像和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系.第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与

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方程的联系.

在几何部分中平面解析几何的学习中通过类比、联想，体会直线的斜截式与一次函数的联系；在数列的学习中体会等差数列与一次函数的联系，等比数列与指数函数的联系；在导数的学习中通过与前面函数性质学习的比较，体会导数在研究函数性质时的一般性和有效性；在线性规划问题的学习中渗透函数思想，解决最优化问题.另外，函数的图像也是函数的一种表达方式，通过图像掌握各类函数的性质，单调性、奇偶性、周期性、最值等，然后去学会应用，在解题的时候，如果能画出函数图像就先画图，利用图像的直观性会使问题简单明了；如果画不出图像，就用性质去研究. 五、研究函数的方法

在高中阶段，研究函数的基本方法有两种，一种是利用代数运算研究函数的变化，一种是利用导数（变化率）去研究函数的性质.学习过新的运算模式比如指数运算、对数运算以后，我们也可以把三角恒等变形看做运算，这些运算保持着一些特殊的规律，掌握这些规律是研究指数函数、对数函数和三角函数的基础. 综上所述，函数是数学的基本研究对象，贯穿在数学的方方面面，也是贯穿整个高中数学课程始终的重要思想之一.函数的学习能使学生懂得一切事物都是在不断变化、而且是相互联系与相互制约的,从而了解事物的变化趋向及其运动的规律.对于培养学生的辩证唯物主义观点、解决实际问题的能力是一个有力工具.在高中数学新课程教学过程中，应该强调整体地理解函数在高中数学课程中的地位和作用，才能更好地把握每一部分内容，才能提高教学的效率，并帮助学生学会整体地理解函数，不断地梳理头脑中的知识网络，养成良好的数学学习习惯.

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