阅读与思考 函数概念的发展历程教学设计范文

第一章 函数

第一讲 函数的概念

【知识归纳】

(1) 映射

映射的定义：设A，B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有惟一确定的元素y与之对应，那么这样的对应(包括集合A，B以及A到B的对应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.其中与A中的元素a对应的B中的元素b叫做a的象，a叫做b的原象. 一对一，多对一是映射

但一对多显然不是映射

辨析：

①任意性：映射中的两个集合A,B可以是数集、点集或由图形组成的集合等；

②有序性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；

③存在性：映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象；

④唯一性：映射中集合A的任一元素在集合B中的象是唯一的；

⑤封闭性：映射中集合A的任一元素的象都必须是B中的元素，不要求B中的每一个元素都 有原象，即A中元素的象集是B的子集. 映射三要素：集合A、B以及对应法则f，缺一不可；

(2) 映射观点下的函数概念

如果A，B都是非空的数集，那么A到B的映射f：A→B就叫做A到B的函数，记作y=f(x)，其中x∈A，y∈B.原象的集合A叫做函数y=f(x)的定义域，象的集合C（CB）叫做函数y=f(x)的值域.函数符号y=f(x)表示“y是x的函数”，有时简记作函数f(x).

（3）函数概念：

设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f (x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 记作：y = f (x)，x∈A.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x) | x∈A}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集.

（4）函数的表示方法

1．解析式：把常量和表示自变量的字母用一系列运算符号连接起来，得到的式子叫做解析式. 2．列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3．图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 【经典例题】

1

例1 以下给出的对应是不是从集合A到B的映射？

（1）集合A = {P | P是数轴上的点}，集合B = R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；

（2）集合A = {P | P是平面直角坐标系中的点，集合B = {(x | y) | x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

（3）集合A = {x | x是三角形}，集合B = {x | x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；

（4）集合A = {x | x是新华中学的班级}，集合B = {x | x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生.

练1 已知下列集合A到B的对应，请判断哪些是A到B的映射？并说明理由：

（1）A=N，B=Z，对应法则：“取相反数”；

（2）A={-1，0，2}，B={-1，0，1/2}，对应法则：“取倒数”；

（3）A={1，2，3，4，5}，B=R，对应法则：“求平方根”；

（4）A={|00900}，B={x|0x1}，对应法则：“取正弦”.

例2 1. 函数y = f (x)表示（ ）

A．y等于f与x的乘积

B．f (x)一定是解析式

C．y是x的函数

D．对于不同的x，y值也不同

2.下列各图中，可表示函数y =f(x)的图象的只可能是 ( )

y y y y

o x o x o x o x

A B C D

3. 下列四种说法中，不正确的是（ ）

A．函数值域中每一个数都有定义域中的一个数与之对应

B．函数的定义域和值域一定是无限集合

C．定义域和对应关系确定后，函数的值域也就确定了

D．若函数的定义域只含有一个元素，则值域也只含有一个元素

4. 已知f (x) = x2 + 4x + 5，则f (2) = __ ，f (–1) = __ .

5. 已知f (x) = x2 (x∈R)，表明的“对应关系”是______，它是____→_____的函数.

第二讲 函数的定义域

2

【知识归纳】

1.函数的定义域：

函数的定义域是指使得函数有意义的自变量x的取值。（注：专指x的取值范围。）

2.函数定义域的求法：

(1)由函数的解析式确定函数的定义域；

(2)由实际问题确定的函数的定义域；

(3)不给出函数的解析式，而由f(x)的定义域确定函数f[g(x)]的定义域。

注：1、具体函数的定义域

（1）若f(x)是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集；

（2）若f(x)是偶次根式，则函数的定义域是使（被开方数）根号内的式子大于或等于0的实数集合；

（3）若f(x)是对数函数，则函数的真数要大于0；

（4）若f(x)x，则x不等于0 。

（5）指数函数与对数函数的底大于零且不等于1. （6）正切函数的角的终边不能在y轴上. （7）分段函数：

①分段函数是一个函数.②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集. （8）复合函数定义域的求法：

①已知yf(x)的定义域是A，求yfx的定义域的方法为解不等式：(x)A，求出x的取值范围. ②已知yfx的定义域为A，求yf(x)的定义域的方法:xA，求(x)的取值范围即可. （9）若f(x)是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合；

（10）若f(x)是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 2、抽象函数的定义域求解：

不管括号内是什么，定义域是指x的范围；无论括号内是什么，括号的整体范围不变。

0

3、区间表示法：设a，bR，且ab.

3

满足axb的全体实数x的集合，叫做闭区间，记作a,b. 满足axb的全体实数x的集合，叫做开区间，记作a,b. 满足axb或axb的全体实数x的集合，都叫做半开半闭区间，记作a,b或a,b.a与b叫做区间的端点，在数轴上表示时，包括端点时，用实心的点，不包括时用空心点表示.

【经典例题】

例1.函数y1xx的定义域为（ ）

A.xx1 B.xx0 C.xx1或x0 D.x0x1

例2.函数fxx10xx的定义域是（ ）

A.0, B.,0

C.,11,0 D.,11,00,

例3.若函数yfx1的定义域是2,3,则yf2x1的定义域是（ ）

A.50,2B.1,4 C.5,5 D.3,7

例4.已知函数fx1x1,则函数ffx的定义域是（ ）

A.xx1B.xx2C.xx1且x2D.xx1或x2

例5.已知f12x求函数f3x12x的定义域是? 例6.若函数ykx26xk8的定义域是R，求实数k的取值范围. 例7.已知函数f(x)lg1xf(x11x，求函数F(x))2x1f(x2)的定义域.

例8.已知函数f(x)a2xb3x，其中常数a,b满足ab0. （1）若ab0，判断函数f(x)的单调性；

4

（2）若ab0，求f(x1)f(x)时x的取值范围.

【巩固练习】

1.函数yxx1x的定义域为（ ）

A.xx02.fxB.xx1 C.xx10 D.x0x1

11211x的定义域为 . 3.已知函数fx的定义域为2,2.

①求函数f2x的定义域；

②求函数f1x1的定义域. 44.已知函数fx4的定义域x3,5，则函数fx的定义域是？

25.如果函数fxx11x的图像在x轴上方，则fx的定义域为（ ）. A.xx1 B.xx1 C.xx1且x1 D.xx1且x1

11logay6. （1）已知a,x,y,zR,a1，设xa,ya11logaz,用a,x表示z. 2 （2）设ABC的三边分别为a,b,c，且方程x2xlg(cb)2lga10有等根，判断22ABC的形状.

第三讲 函数的值域

【知识归纳】

1.函数的值域：

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函数的值域是指在定义域的范围内函数的取值范围。（是指y的取值范围。）

2.函数值域的求法：见经典例题中分类。

【经典例题】

一．观察法：对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等,通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。

例1 求函数y=3+√(2－3x) 的值域。

二．反函数法：函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。

例2．求函数

三．配方法：数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。

2yx2x5,xR的值域。

例3．求函数y3x45x6 值域。

四．判别式法：适用于二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。

使用判别式求函数值域的条件是自变量x∈R。

22 例4．求函数y=(2x－2x+3)/(x－x+1)的值域。

点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。特别注意转化后的二次方程的二次项系数为0的情况。

222常适应于形如y=(ax+bx+c)/(dx+ex+f)及y=ax+b±√(cx+dx+e)的函数。

五、均值不等式法：适用于二次型的分式函数。，使用均值不等式的条件是“一正，二定，三相等”。x+a/x≥2√x·a/x=2√a(x>0)；x+a/x≤-2√a（x<0）。

2 例5.

求函数y=x+x+1/x+1的值域。

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b型：直接用不等式性质k+x2bxb. y2型,先化简，再用均值不等式xmxnx11 例：y121+x2x+xx2mxnc.. y2型

通常用判别式xmxnx2mxnd. y型

xn 法一：用判别式a. y 法二：用换元法，把分母替换掉2x2x1（x+1）（x+1）+1 1 例：y（x+1）1211x1x1x1

六、函数有界性法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。

ex1yx6.求函数e1的值域。

例

七、倒数法：

例7.求函数

八、单调法性法：利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。

例8求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。

九、换元法

：新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。

例9．求函数y=x-3+2x+1 的值域。

十、分离常数法：

1x 例10．求函数 y=2x5的值域

yx2x3的值域

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【巩固练习】

1.函数y=1x(x1)的值域是---------------------------------------[ ] A．（,0)(0,) B．R C．（0，1） D．(1,)走

2.下列函数中，值域是(0,)的是-------------------------------- [ ] A．y= x23x1 B．y=2x1（x0) C．yx2x1 D．y1x2

3.已知函数fx的值域是2,2,则函数yfx1的值域是--------[ ] A.1,3 B.3,1 C.2,2 D.1,1

4.f(x)=x2x,x{1,2,3}，则f(x)的值域是: . 5.函数yx21x2的值域为: . 6.函数y1x22x2的值域为: . 7.求下列函数的值域

（1）yx1 （2）y2x2x1 （3）yx2(2x3)

（4）yx21x1）y2xx1 （6）y=12x2 （513x

8.当x[1,3]时，求函数f(x)2x26xc的值域

第四讲 函数的解析式

8

【知识归纳】

求函数解析式的方法：

1、整体代换（配凑法）

2、换元法（

注意新元的取值范围）

3、待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）

4、构造方程组（如自变量互为倒数、已知f（x）为奇函数且g（x）为偶函数等）

5、赋值法

【经典例题】

类型一

具体函数的解析式求法

题型一、代入法求解析式

例1 已知f(x)3x25x7,求f(2x1)的解析式.

x1，g(x)x2练 已知f(x)2,x01,x0，求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式。



题型二、换元法

例2、已知f(1x1x)1x21x2,,求f(x)的解析式

练 已知f(1sinx)sinxcos2x,求f(x)的解析式

题型三、配方法求函数解析式

例3、已知f(x1)x2x,求f(x)及f(x+1)的解析式。

练 已知f(x1)x31xx3,求f(x)的解析式

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题型四、待定系数法

例4、已知f(x)3x1,g(x)为一次函数，f[g(x)]2x3,求g(x)的解析式

练 2、已知二次函数g(x)满足g(1)1，g(1)5，图像过原点，求g(x)；

题型五、赋值法

2f(x)f(1)x1(x0)例5、已知x，求f(x)；

类型二

抽象函数的解析式求法

例1、若函数f(x)满足2f(x)f(1x)3x,求f(x)的解析式。

练 已知2 f（x）f 1x = 3x ，求函数f（x）的解析式

【巩固练习】

1、已知f(x)9x1,g(x)x2,求满足f[g(x)]g[f(x)]的x的值。

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2、已知二次函数F(x)，其图像的顶点是(1,2)，且经过原点，求F(x)。

3、已知f(x)为二次函数,若f(0)0且f(x1)f(x)x1,求函数f(x)的解析式。

4、设二次函数f(x)满足f(x2)f(2x),且图象在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长为22,求函数的解析式。

5．若f(x1)2x21，求f(x)。

6．若一次函数f(x)满足f[f(x)]12x，求f(x)。

27. 已知f (x) = x + 1，则f (3x + 2) = ；

已知：f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；

28. 已知f(x)＝ax＋bx＋c，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．

29. 已知f(2x＋1)＝x＋1，求f(x)的解析式．

10. 已知f(x＋1)＝3x＋2，则f(x－1)＝( )。

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