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线段和最小问题探究

成都郫都区第三中学符琬苹

同学们：

知道中考时间吗？面对中考，你复习好了吗？对于复习，你是选择把市场上的复习资料都做一遍，还是选择归纳题型，总结方法呢？

温故知新

1. 两点之间，______________ 2.点到直线的距离，______________ 3.一般利用______________解决线段和最小的问题。

引例、

如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B 到它的距离之和最短？

理论依据：两点之间，线段最短

用途：求两条线段和的最小值

应用：求两条线段和的最小值

模型一：（两点同侧）：如图1，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。

模型二：（两点异侧）：如图2，点P在直线l上运动，画出一点P使PA+PB取最小值。

【一、“两定一动”】

例1.如图，在直角坐标系中，点A(3,4)，B(0,2)，点P为x轴上一动点，

求当PA +PB最小时点P的坐标．

变式训练1如图，MN 是⊙O的直径，MN=2，点A 在⊙O 上，∠AMN=30°，B 为弧AN 的中点，P是直径MN 上一动点，则PA+PB 的最小值为

2.如图，⊙O的半径为2，点A，B，C在⊙O上，OA⊥OB,∠AOC=600，P是OB上一动点，PA+PC的最小值为________。

【二、“两动一定”】

例2.如图，在锐角△ABC中，AB= ，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，请你求出BM+MN的最小值．

42

变式训练

练习1，如图，正方形ABCD的边长为4，∠CDB的平分线DE交BC于42点E，若点P,Q分别是DE和DC上的动点，则PQ+PC的最小值（ ） 22 A.2 B. C.4 D. 【变式训练】练习2，如图，∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，OP=10，Q、R分别是OB、OA上的动点，求△PQR周长的最小值．

例3.如图，直线l1、l2交于O，A、B是两直线间的两点，从点A出发，先到l1上一点P，再从P点到l2上一点Q，再回到B点，求作P、Q两点，使AP＋PQ ＋QB最小。

【变式训练1】

已知,在平面直角坐标系中，点A（1,3)、B(4,2)，请问在x轴上是否存在点C，在y轴上是否存在点D，使得围成的四边形ADCB周长最短.

反思总结+巩固练习

此类试题往往以角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等为背景，这些问题的设置背景有都有一个共同点，那就是：都有一个“轴对称性”的图形共同点，解题时只有从变化的背景中提取出“建奶站问题”的数学模型，再通过找定直线（在那条直线上确定点就作定点关于这条直线的对称点）的对称点，从而将问题转化为上面的类型进行求解，但有时问题是求三角形周长或四边形周长的最小值，一般此类问题中会含有定长的线段，依然可以转化为“建奶站问题”来进行求解。

出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”

课后作业

中考链接

第一组题

1.如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连结BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连结ED交AC于P，则PBPE的最小值是_______. B E A P D 图1

C

A P E D B C

△ABE是等边三角形，2.如图2，正方形ABCD的面积为12，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PDPE的和最小，则这个最小值为（ ） A．23 B．26 C．3 D．6

3.如图3所示，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，点P在BC上移动，则当PA+PD取最小值时，△APD中边AP上的高为（ ）

17 4.如图，四边形ABCD是正方形，

AB10cm，E为边BC的中点，P为BD上A、42B、171717 17C、

817D、3 的一个动点，则PCPE的最小值为____________. 5.如图，若四边形ABCD是菱形,AB10cm，ABC45°，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，则PCPE的最小值为_____________. 6.如图，若四边形ABCD是矩形，AB10cm，BC20cm，E为边BC上的一个动点，P为BD上的一个动点，则PCPE的最小值为_____________. A

P D A D A D

B E C B C B C

7．（本题9分）如图13，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）。

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上师范存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小。若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由。

P

D

D

E

D

y

C

y

C

y

C

A

O

B

x

A

F

O

Q

B

x

A

O

B

x

图13 图14 图15