阅读与思考 函数概念的发展历程第二课时教案

第章

函数、导数及其应用

第一节

函数及其表示

[考纲传真]

(教师用书独具)1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．

(对应学生用书第8页) [基础知识填充] 1．函数与映射的概念

两集合A，B 对应关系f：A→B 函数

设A，B是两个非空的数集

映射

设A，B是两个非空的集合

如果按照某种确定的对应关如果按某一个确定的对应关系f，系f，使对于集合A中的任意使对于集合A中的任意一个元素一个数x，在集合B中都有唯x，在集合B中都有唯一确定的元一确定的数f(x)和它对应

素y与之对应

名称

记法

称f：A→B为从集合A到集合称f：A→B为从集合A到集合BB的一个函数

函数y＝f(x)，x∈A 的一个映射

映射：f：A→B

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域：

在函数y＝f(x)，x∈A中，自变量x的取值范围(数集A)叫做函数的定义域；函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(3)相等函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数．

(4)函数的表示法：

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．分段函数

(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

[知识拓展]

1．函数与映射的本质是两个集合间的“多对一”和“一对一”关系．

2．分段函数是高考必考内容，常考查(1)求最值；(2)求分段函数单调性；(3)分段函数解析式；(4)利用分段函数求值，解题的关键是分析用哪一段函数，一般需要讨论．

[基本能力自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．(

) (2)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(

) (3)与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．(

) (4)分段函数是两个或多个函数．(

) [答案]

(1)√

(2)×

(3)√

(4)×

2．(教材改编)函数y＝2x－3＋3A．2，＋∞

3C．2，3∪(3，＋∞)

1的定义域为(

) x－3B．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞) 2x－3≥0，3C

[由题意知解得x≥2且x≠3.] x－3≠0，3．如图2-1-1所示，所给图象是函数图象的有(

)

图2-1-1 A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

B

[①中，当x＞0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此①不是函数图象；②中，当x＝x0时，y的值有两个，因此②不是函数图象；③④中，每一个x的值对应唯一的y值，因此③④是函数图象，故选B．] x2＋1，x≤1，4．设函数f(x)＝2，x＞1，x2

则f(f(3))＝________. 1321323＋1＝.]

[f(3)＝，f(f(3))＝9395．(2015·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，则a＝________. －2

[∵f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1,4)，

∴4＝a×(－1)3－2×(－1)，解得a＝－2.] (对应学生用书第9页)

(1)(2018·济南一模)函数f(x)＝132x－2＋的定义域为________．

x＋1f2x的定义域是________．

x－1求函数的定义域

(2)若函数y＝f(x)的定义域为[0,2]，则函数g(x)＝12x－≥0，2(1)(－1，＋∞)

(2)[0,1)

[(1)由题意得x＋1≠0，数f(x)的定义域为(－1，＋∞)．

解得x＞－1，所以函(2)由0≤2x≤2，得0≤x≤1，又x－1≠0，即x≠1，所以0≤x＜1，即g(x)的定义域为[0,1)．] [规律方法]

函数定义域问题的类型及求解策略

1已知函数解析式，构造使解析式有意义的不等式组求解. 2实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式组求解. 3抽象函数：

①若已知函数fx的定义域为[a，b]，其复合函数fgx的定义域由不等式a≤gx≤b求出；

②若已知函数fgx的定义域为[a，b]，则fx的定义域为gx在x∈[a，b]时的值域. ③已知f[φx]定义域为[m，n]，求f[hx]定义域，先求φx值域[a，b]，令a≤hx≤b，解出x即可.

3x2[跟踪训练]

(1)函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是(

) 1－x1A．－3，1

11C．－3，3

1B．－3，＋∞

1D．－∞，－3

(2)已知函数f(2x)的定义域为[－1,1]，则f(x)的定义域为________.

x＜1，1－x＞0，1

(1)A

(2)2，2

[(1)由题意可知解得1x＞－3x＋1＞0，3，

1∴－3＜x＜1，故选A．

(2)∵f(2x)的定义域为[－1,1]，

11∴2≤2x≤2，即f(x)的定义域为2，2.] 

11

(1)已知fx＋x＝x2＋x2，求f(x)的解析式；

2(2)已知fx＋1＝lg x，求f(x)的解析式；

(3)已知f(x)是二次函数且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)的解析式；

1(4)已知f(x)＋2fx＝x(x≠0)，求f(x)的解析式．



1111[解]

(1)由于fx＋x＝x2＋x2＝x＋x2－2，令t＝x＋x，当x＞0时，t≥2

求函数的解析式

1x·x

＝2，当且仅当x＝1时取等号；

1－x－当x＜0时，t＝－≤－2，当且仅当x＝－1时取等号，

x∴f(t)＝t2－2t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．综上所述．f(x)的解析式是f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．

22(2)令x＋1＝t，由于x＞0，∴t＞1且x＝，

t－1∴f(t)＝lg22，即f(x)＝lg(x＞1)．

t－1x－1(3)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，由f(0)＝2，得c＝2，f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝x－1，即2ax＋a＋b＝x－1，

2a＝1，∴

a＋b＝－1，1a＝2，即3b＝－2，

13∴f(x)＝x2－x＋2. 221(4)∵f(x)＋2fx＝x，

11∴fx＋2f(x)＝x. 1x＝x，fx＋2f联立方程组11f＋2fx＝xx，2x解得f(x)＝3x－3(x≠0)．

[规律方法]

求函数解析式的常用方法

1待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法. 2换元法：已知复合函数fgx的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围. 13构造法：已知关于fx与f x或f－x的表达式，可根据已知条件再构造出另

外一个等式，通过解方程组求出fx. [跟踪训练]

(1)已知f(x＋1)＝x＋2x，求f(x)的解析式；

(2)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等实根，且f′(x)＝2x＋2，求f(x)的解析式．

[解]

(1)法一：(换元法)设x＋1＝t(t≥1)，则x＝t－1，所以f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1(t≥1)，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．

法二：(配凑法)f(x＋1)＝x＋2x＝(x＋1)2－1，

又x＋1≥1，所以f(x)＝x2－1(x≥1)．

(2)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

则f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，

所以a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又因为方程f(x)＝0有两个相等的实根，

所以Δ＝4－4c＝0，c＝1，

故f(x)＝x2＋2x＋1.

◎角度1

求分段函数的函数值

1＋log22－x，x<1，

(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝x－1则f(－2)＋2，x≥1，f(log212)＝(

) A．3

C．9

C

[∵－2<1，

∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3. ∵log212>1，∴f(log212)＝2log212－112＝2＝6. B．6 D．12 分段函数及其应用

∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C．] ◎角度2

已知分段函数的函数值求参数

log2x，x≥1，

(2017·成都二诊)已知函数f(x)＝2若f(f(－1))＝2，2x＋m，x＜1，则实数m的值为(

) A．1

C．3

B．1或－1 D．3或－3

D

[f(f(－1))＝f(1＋m2)＝log2(1＋m2)＝2，m2＝3，解得m＝±3，故选D．] ◎角度3

解与分段函数有关的方程或不等式

x＋1，x≤0，1

(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x则满足f(x)＋fx－22，x＞0，＞1的x的取值范围是________．

111－4，＋∞

[当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，

241∴－41，显然成立．

1当x>2时，原不等式为2x＋21x－2>1，显然成立．

1综上可知，x的取值范围是－4，＋∞.] [规律方法]

1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现ffa的形式时，应从内到外依次求值. 2.已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围. 易错警示：当分段函数自变量的范围不确定时，应分类讨论. x，0

(1)(2017·山东高考)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1)，2x－1，x≥1.1则fa＝(

) A．2

B．4

C．6

D．8 x2，

x≤0，1(2)(2018·北京西城区二模)函数f(x)＝则f4＝________；方log2x，x＞0，

1程f(－x)＝2的解是________．

2x＋2ax，x≥2，(3)已知函数f(x)＝x若f(f(1))＞3a2，则a的取值范围是2＋1，x＜2，

________.

(1)C

(2)－2

－2或1

(3)(－1,3)[(1)若0

11∴a＝4，∴fa＝f(4)＝2×(4－1)＝6. 若a≥1，由f(a)＝f(a＋1)得2(a－1)＝2(a＋1－1)，无解．

1综上，fa＝6. 11(2)f4＝log2

4＝－2；

1当x＜0时，由f(－x)＝log2(－x)＝2，

1解得x＝－2，当x＞0时，由f(－x)＝2－x＝2，解得x＝1. (3)由题知，f(1)＝2＋1＝3，f(f(1))＝f(3)＝32＋6a. 由f(f(1))＞3a2，得9＋6a＞3a2，即a2－2a－3＜0，解得－1＜a＜3.]