阅读与思考 函数概念的发展历程教学设计(教案)

普通高中课程标准实验教科书

数学选修1-1 3.3.2 函数的极值与导数

教学设计

蒲江中学

王萍

【教学内容解析】

1.导数这个概念是高等数学的基本概念，又是中学阶段数学学习的一个主干知识，它是进一步学习数学和其他自然科学的基础，更是研究函数相关性质的重要工具之一。

2.本节课是导数应用中的第二节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性），学生们已经了解了导数的一些用途，思想中已有了一点运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的意识，本节课将继续加强这方面的意识和能力的培养——利用导数知识求可导函数的极值。

3.本节课之后还有利用导数求函数的最值问题，利用导数研究不等式恒成立、方程根的讨论、函数图像交点等问题，因此本节课还要起到承上启下的作用。从高考角度分析，以中高档题为主，所以导数是非常重要的知识点。 【目标和目标解析】

1.教学目标：

(1)掌握函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；

(2)掌握利用导数求可导函数的极值的一般方法；

(3)了解可导函数极值点x0与f(x0)=0的逻辑关系；

(4)培养学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力。

2.教学重点与难点：

重点：利用导数求函数的极值 难点：可导函数在某点取得极值的必要条件与充分条件

【教学问题诊断分析】

对于重点内容：求可导函数的极值的方法和一般步骤，必须在课堂上就过手。由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入细致，因此教学中更重视的是从感性认识到理性认识的探索过程，而略轻严格的理论证明。针对这一特点，本节课我采用师生互动探究式教学，以及讲练结合的教学方法。通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。

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对于难点问题：x0为函数极值点与f(x0)=0的逻辑关系，可由教师层层递进性的主动提出，师生共同探究完成，体现教师的主导性和学生的主体性。

【教学支持条件分析】

课堂上将采用多媒体展示、学生独立回答和集体回答、小组讨论、学生板演等多种手段，激发学生的学习兴趣，提高课堂复习效率。当然，在学生回答之后，老师要及时给学生一个鼓励性的评价，以增强学生回答的信心，使课堂始终保持一种热烈、积极、主动的学习气氛。

【教学基本流程】

回忆函数的单调性与导数的关系，通过实例导入，激发求知欲

给出函数的极值定义，获得新知

组织学生自主探索，探寻函数的极值的判断方法

通过例题和练习，归纳求函数的极值的步骤

通过小结复习，深化提高对函数的极值定义的理解

【教学过程设计】

〈一〉、创设情景，导入新课

1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么？

（提问学生回答）

2．观察

过山车回顾单调性,体会临界点,引入极值的定义

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【师生活动】通过提问,完成复习;动画视频引入，直观感知。

【设计意图】通过回顾知识造成学生的认知冲突，引发学生的好奇心和求知欲，推动问题进一步探究。这里利用游乐场中的过山车问题，引导学生发现轨道可以抽象成函数的图象，在研究了上坡,下坡(即单调减及单调递增)后,接着研究转折点,从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念。

<二>、新课讲解——函数的极值: 由引入自然的给出函数极值的定义: 1、极值的定义：(板书在黑板上)

点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；

点b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极大值。

极大值点与极小值点称为极值点, 极大值与极小值称为极值.

注：极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值。

2.探究一(引导学生如何确定可导函数的极值点)

观察3.3-10图所表示的y=f(x)的图象，回答以下问题：

（1）函数y=f(x)在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?

(2）

函数y=f(x)在a.b.点的导数值是多少?

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（3）在a.b点附近, y=f(x)的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?

(学生观察,分析,并小组讨论) 【师生活动】引导学生分析探究，开展小组合作讨论，解决问题后展示。

【设计意图】通过对问题的探究，进一步理解极值定义及其与导数的关系。数型结合突出直观性降低理论性，并由上图引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系.这有利于培养学生思维的完整性。

3、通过以上探索

归纳1:判断可导函数y=f(x)极值的方法:

(板书括号内的结论在黑板上相应的位置)

求f'x,解方程f'x=0,当f'x=0时:

(1)如果在x0附近的左边f'x＞0,右边f'x＜0,那么f(x0)是极大值.

( f '(x)左正右负;f(x)左增右减)

(2)如果在x0附近的左边f'x＜0,右边f'x＞0,那么f(x0)是极小值

( f '(x)左负右正;f(x)左减右增)

4.探究二:极大值一定大于极小值吗?

引导学生观察图3.3.11，回答以下问题：

找出图中的极点，并说明哪些点为极大值点，哪些点为极小值点？

【师生活动】引导学生独立思考，回归概念，解决问题。

【设计意图】学生中可能存在不同的结论,通过对具体函数图像的观察、猜想到归纳、总结，让学生体验知识的发现、发生过程，又从“形”的角度，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。

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归纳2:

函数极值是在某一点附近的小区间内定义的，是局部性质。因此一个函数在其整个定义区间上可能有多个极大值或极小值，并对同一个函数来说，在某一点的极大值也可能小于另一点的极小值。

教师追问:若是一个函数中两个相邻的极值呢?极大值和极小值又是怎样的关系? 5.探究三:导数值为0的点一定是函数的极值点?

【教学预设】由于极值的概念在定义时是结合原函数的图像给出的,学生可能首先想到的找波峰,波谷,而忽视了万一给出的是的导函数图像呢

方案一:学生探索思考,如果能说出结论并举例的话,在此时给出结论:

结论:可导函数y=f(x)

,x0为y=f(x)的极值点

⇒f'(x)0

0 方案二:如果学生不能归纳出结论,引导学生观察教材96页练习第2题再归纳：

(课前将图画在黑板上

)

(请一名学生上黑板标注)

【师生活动】引导学生独立完成，并请一位学生上台展示；

【设计意图】学生中可能存在不同的答案,多找几个学生发表自己的意见，让学生在聆听的过程中来发现问题。通过对具体函数图像的分析，通过具体题目，让学生巩固有关极值的概念及明确成为极值点的充要条件，体现数形结合思想。

<三>、例题选讲

1

例4

求函数fxx34x4的极值

3

教师分析:①求f/(x),解出f/(x)=0,找函数极点；

②由函数单调性确定在极点x0附近f/(x)的符号,从而确定哪一点是极大值点,哪一点为极小值点,从而求出函数的极值。

(师生分析,教师在黑板上板书解题过程) 1

解:∵fxx34x4∴f'x=x2-4=(x-2)(x+2) 3

令f'x=0,解得x=2,或x=-2.

下面分两种情况讨论:

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x

（1）

当f'x＞0,即x＞2,或x＜-2时; （2）

当f'x＜0,即-2＜x＜2时.

当x变化时, f'x,f(x)的变化情况如下表: x (-∞,-2) -2 0 28

3(-2,2) _ 单调递减

2 0 4

3(2,+∞)

+ 单调递增

f'x

+ f(x) 单调递增

28; 34

当x=2时,f(x)有极小值,且极小值为f(2)= 

31

函数fxx34x4的图象如: 3

因此,当x=-2时,f(x)有极大值,且极大值为f(-2)= y1f(x)=x3-4x+43

-22Ox

【师生活动】引导学生思考，学生回答教师提出的相关问题，解决问题后，教师讲解与板书解题过程,关键在于强调解题格式的规范化和步骤的完整性。

【设计意图】这是本节课的重点，通过例题让学生掌握可导函数求极值的方法和步骤并体会解题的规范性，例题4的目的是得出求可导函数的极值的步骤：

1确定函数的定义区间，求导数f(x)；

2求方程f(x)0的根；

3用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格. 4检查f(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f(x)在这个根处无极值。

<四>、当堂检测

1.下图是导函数

y=f(x)的图象, 在标记的点中, 在哪一点处

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(1)

导函数y=f(x)有极大值? (2)导函数y=f(x)有极大值?

(3)

函数y=f(x)有极大值?

(4) 函数y=f(x)有极小值?

(请学生回答)

教材98页习题

A组

4题

【师生活动】：独立思考，完成练习

【设计意图】：利用练习，来加深学生对概念的理解。巩固学生对极值与原函数，导数关系的理解，体现了

“数形结合”的数学思想，这也是解题的关键

。再次强调：首先要看清楚题目中给出的是原函数还是导函数的图像，其次要想知道x0是极大值点还是极小值点就必须判断x0两侧的单调性或者是x0左右侧导数的符号。

2.求函数f(x)=3x-x3的极值

(请学生上黑板解答) 【师生活动】：由学生思考后，板演与练习。

【设计意图】：规范作答，成功总结本节收获.

<五>、课堂小结:

1、

函数极值的定义

2、

判断极值的方法

3、

求函数极值的步骤

思想方法总结:

观察

转化

数形结合

【师生活动】：引导学生共同复习。

【设计意图】培养学生学习——总结——学习——反思的良好习惯，同时通过自我的评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心。

<六>、课后作业

必做题：教材P96第1题（1），（3）；教材P99第5题（2），（4）

选做题：求函数f(x)xalnx的极值.(aR)

【设计意图】知识巩固，反馈信息，同时注意个体差异，因材施教，必做题为基础训练，含参数选做题既是对本节课的提升训练，也为下节课做好铺垫。

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【板书设计】

3.3.2 函数的极值与导数

1、函数的极值的定义（图3.3-10

）

2.可导函数y=f(x)

,x0为y=f(x)的

例

求函数y=1x34x4的极练习1. 3值

（板书解题过程）

(请学生上黑板解答)

2.求函数f(x)=3x-x3的极值

(擦掉练习1的板书，请学生上黑板解答)

极值点

f'(x0)0

3．求可导函数的极值的步骤（:ppt展示）

⇒

【教学设计说明】

《函数的极值与导数>>是普通高中课程标准实验教科书选修1-1第三章第三节导数应用中的第二小节（第一节是利用导数知识判断函数的单调性）。函数的极值是高等数学中的导数应用里一个很重要的内容，对极值概念的理解是学生学习的重要一环。文科生学习数学更多的是直观感知，因此需要借助于具体的函数图像来研究函数的极值。循着这样的思路，整个教学过程，从创设情境—实例验证—揭示本质—强化应用—回顾反思，五个方面入手，层层递进，螺旋上升．

关注生活

自然导入

教材上函数的极值是一个描述性的概念，比较抽象，所以在引入阶段，利用生活中的过山车问题，引导学生发现轨道可以抽象成函数的图像，在研究了上坡,下坡(即单调减及单调递增)后,接着研究转折点,从而轻松高效引入课题，成功激发学生的求知欲，也体现了“生活中处处有数学”的教学理念。

关注探究

合作生成

前面已经给出函数极值的定义，但是如何去确定函数的极值点呢，还有待探索。通过对问题的探究，进一步理解极值定义及其与导数的关系。数型结合突出直观性降低理论性，并由具体的函数图像引导学生寻找函数极值点与导数之间的关系，从而深化对所得结论的理解.。再从“形”回到

“数”，进一步引导学生经历从特殊到一般的过程，抓住

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导数和极值的定义之间的联系来提炼一般性的结论，由学生自主探究、，相互交流，变灌注知识为学生主动获取知识，从而使之成为课堂教学活动的主体。

关注应用

数形结合

在典例演练，强化应用的过程中，

规范了用导数研究极值的书写，题目解完后再利用单调性画出三次函数的大致图像加以验证，经历由“数”到“形”的过程，数形结合思想，贯穿始终，进一步去体会函数极值与导函数和原函数的关系。由形到数，由数到形，数形结合贯穿始终．

【教学反思】

本节课利用多媒体辅助教学，调动了学生的课堂参与空间，有效的增加了课堂容量，提高了学生的学习兴趣，活跃了课堂气氛；利用小组探究的形式，提高了学生动手能力，探究能力和自学能力，基本达到了高效课堂的效果。本节的教学内容是函数的极值,有了上节课导数的单调性作铺垫,借助函数图形的直观性给出函数的极值的定义,利用定义求函数的极值。课堂中以自主探究为主，让学生经过实例分析，使学生经历知识产生和形成的过程，及时归纳方法，熟练灵活运用知识解决问题。本节课的重点是求函数的极值，教师在黑板上，给大家示范了规范的解答步骤，并和同学们一起归纳了求函数极值的步骤。为了确认学生的解答是否规范，教师再通过一道练习，由学生思考后，请一位学生上台板演。本节课的难点是函数在某点取得极值的必要条件与充分条件,为了突破这个难点，教师举了同学们熟悉的y=x3的图像，又结合另外一个导函数的图像，让学生通过直观感知去归纳函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，用图形进行验证更符合文科学生的认知水平。

不足：学生对探究性问题研究的还不够深入，只停留在表面问题的解决，对于探究过程中遇到的问题，解决的方式方法还有待提高改进。学生的运算技能，识图技能还需要进一步提高。

改进措施：在上课过程中和学生分组讨论探究问题时，应当尽量参与到其中，多与学生交流，多主动及时发现学生的困难，引导学生思考问题的方向，鼓励学生大胆提问，及时对学生的问题进行引导和鼓励。

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