阅读与思考 函数概念的发展历程优秀教案

1.2 函数及其表示

1.2.1 函数的概念

一、教材分析

本节内容为《函数的概念》，是人教A版高中《数学》必修一《函数及其表示》的第一课。从函数的内涵来看：函数是从一个非空集合到另一个非空集合的对应，从知识的角度来说：是学生在学习了一次函数、二次函数的基础上的进一步拓展，它上承初中知识，下载高中八大函数基本性质，是派生函数知识的强大“固着点”，它与不等式，数列等知识有密切的联系。从数学思想的角度来看：函数思想是高中最重要的数学思想之一，而函数的概念是函数思想的基础，它既对前面的知识作了巩固和发展，更是学好后继知识的基础和工具.基于以上的分析，确定本节课的重难点是：

教学重点：函数概念的形成，用集合与对应的语言来刻画函数；

教学难点：对函数概念本质的理解；符号“y=f(x)”的含义，函数三要素的理解；

发展学生的抽象思维能力 教学目标：

1．目标

（1）知识与技能：

通过实例让学生了解函数是非空数集到非空数集的一个对应；了解构成函数的三要素、函数概念的本质，抽象的函数符号f(x)的意义；会求一些简单函数的定义域

（2）、过程与方法：

让学生经历函数概念的形成过程，函数的辨析过程,函数定义域的求解过程以及求函数值的过程；渗透归纳推理、发展学生的抽象思维能力。

（3）、情感.态度和价值观

体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型，在此基础上学会用集合语言来刻画函数，体会对应关系在函数概念中的作用；体验函数思想；感受数学的抽象性和简洁美。

[设计意图]：这样设计目标，可操作性强，容易检测目标的达成度，同时也体现了素质教育的要求。

2．解析

函数的概念是数学中重要的基础概念之一，进一步学习的不等式、数列、三角函数等无一不是以函数作为基础和研究对象的，其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具，函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材，函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中。

函数是中学数学的主体内容。它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用，后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容

本节的函数是用初中代数中“对应”来描述的函数概念，高一学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的 二、学情分析及教学策略

1.学情分析

1

在本课的教学前，学生已经学习了函数的相关知识，有一定的基础，为本节课重新定义函数，提供了知识保证。从实例中抽象归纳出函数的概念时，要求学生从自己的探索过程中得出，对学生的抽象、归纳能力要求比较高，能很好的锻炼学生的抽象思维能力以及加深对函数概念的理解。

2. 教学策略

所以在本节教学中，我将采用教师为主导，学生为主体，发展为中心的新课程理念，通过设计学生合作探究，突破难点；通过展示文字材料引导学生分析材料的共同点和不同点，借助多媒体演示手段，通过

“预习导学、问题引领、练习内化、目标检测、分层配餐”五步教学，促进学生主动学习、独立思考，实现个性发展。

三、教学过程

教学导图

检查学生的预习情况及

课题导入

（一）预习导学

温故知新：初中（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数，并将自变量x取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等

引出函数的概念

分析教材中

的三个案例

跟初中的函数概念进行比较，明确新概念的优越性

课堂小结

例题处理

判断给定的表达式是否表示函数

了解函数的三要素

初中已学习过函数的概念，函数的概念从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系. 本节将进一步学习函数及其构成要素。

[设计意图]：巩固旧知识，为本节课迁移伏笔

（二）问题引领

【案例1】阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

（1）炮弹的射高与时间的变化关系问题；

提问：你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？

炮弹飞行时间t的变化范围是数集A{t0t26}，炮弹距地面的高度h的变化范围是数集B{h0h845}. 从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系h130t5t,在数

2 2

集B中都有唯一确定的高度h和它对应，满足函数定义，应为函数。发现解析式可以用来刻画函数。

对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.发现解析式可以用来刻画函数。

设计意图：从案例中找出函数可以用解析式来刻画，培养学生发现问题，分析问题的能力，灵活应变的能力。

【案例2】南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；

提出问题：观察分析图中曲线，时间t的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s的变化范围是多少？尝试用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系. 根据图中曲线可知，时间t的变化范围是数集A{t1979t2001臭氧层空洞面积s的变}，化范围是数集B{S0S26}. 引导学生看图启发，从图中明显得知，对于数集A中的每一个时刻t都对应t时刻时曲线在该点的纵坐标。即在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s与之对应，满足函数定义，也应为函数。发现图像也可以来刻画函数。

对于数集A中的任意一个时间t,按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应. 设计意图：从案例中找出函数可以用图像来刻画，培养学生发现问题，分析问题的能力，灵活应变的能力。

【案例3】“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题

提出问题：恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系. 根据上表，可知时间t的变化范围是数集A{t1991t2001,tN}，恩格尔系数y的变化范围是数集B{y37.9y53.8}. 学生探讨交流发现，对于表格中的任意一个时间t都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，即在数集A中的任意一个时间t在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，满足函数定义，应为函数，发现表格也可以用来刻画函数。

对于数集A中的任意一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应。

设计意图：从案例中找出函数可以用图表来刻画，培养学生发现问题，分析问题的能力，灵活应变的能力。

【问题1】这三个实例的不同点和共同点是什么？

（三）归纳探索，形成概念

1、以上三个实例有什么不同点和共同点？

活动：让学生分小组讨论交流，请小组代表汇报讨论结果. 归纳以上三个实例，可看出：

其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.

3

其共同点是：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 记作f:AB. 引导学生思考：在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数， 2、你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？

函数的概念: 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的一个函数，记作yf(x),xA.

其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)xA}叫做函数的值域. 显然，值域是集合B的子集. 引导学生深刻体会定义的要点和所满足的条件

强调：①函数首先是两个数集之间建立的对应. 函数的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系. ②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应，这种对应为数与数之间的一一对应或多一对应

③认真理解ｙ﹦ｆ（ｘ）的含义：f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，ｙ﹦ｆ（ｘ）是一个整体，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x),F(x)等表示．

思考：这个函数的定义与以往的函数定义有何区别和联系

引导学生思考，提高分析问题解决问题的能力

这两种定义实质上是一致的，即它们的定义域和值域的意义完全相同，对应关系本质也一样，只不过叙述的出发点不同，初中给出的定义是从运动变化的观点出发，其中对应关系是将自变量x的每一个取值与唯一确定的函数y对应起来；高中给出的定义是从集合对应的观点出发，其中的对应关系是将A集合中的任一元素与B集合中的唯一确定的元素对应起来，这样定义逃脱了物理运动的束缚，更加完美。

教师再及时引导，既然函数是一个整体，那构成函数定义有几个要素分别是什么？问题清晰，学生马上给出解答。

④函数的三要素：定义域，值域和对应法则

对应法则f、定义域A、值域f(x)|xA只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。

注意强调：

1°核心

——

对应法则

4

等式y=f(x)表明，对于定义域中的任意x，在“对应法则f”的作用下，即可得到y.因此，f是使“对应”得以实现的方法和途径.是联系x与y的纽带，从而是函数的核心.对于比较简单的函数，对应法则可以用一个解析式来表示，但在不少较为复杂的问题中，函数的对应法则f也可以采用其他方式（如图表或图象等）. （补充理解①

函数是个“信使”

“函”字本身就有“信件”之意，每封信都是由邮递员按地址投到不同的的地方，每封信上都写有确定的地址，不能含混不清.同样，“函数”也是这样，每个自变量x都要按一定的对应法则与确定的y一一对应.自变量x就是一封信，它被“对应法则”这个信使送到确定的“收信人”——y手里. ②

函数是个“产品加工厂”

工厂里把原料按规格加工成不同的产品.函数就是把自变量x按规格——“对应法则”“加工”成不同产品——y.它也象“数字发生器”把原料——自变量x，投入不同的“数字发生器”——“对应法则”就会得到不同的产物——因变量y. ③函数是个“无能的射手”

有本领的射手可以“一箭双雕”，可函数不行，有可能射不中目标，但它能多箭一雕.正如，由数集A到数集B的映射中，B中每个元素必有原象，也可有多个原象. A中元素在B中可以没有象. ④函数是“封建社会的婚宴”

在封建社会，流传着“好女不嫁二夫”，但“一夫可多妻”.同样函数中多个自变量x可对应一个函数值y，但是一个“妇女”——自变量x不能找多个“婆家”——y值.在现代社会是“一夫一妻”制，这正如有反函数的函数x与y之间必须是一一对应的.）

2°前提和基础

——定义域

定义域是自变量x的取值范围，它是函数的一个不可缺少的组成部分，定义域不同而解析式相同的函数，应看作是两个不同的函数. 在中学阶段所研究的函数通常都是能够用解析式表示的.如果没有特别说明，函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中，还必须考虑自变量所代表的具体的量的允许取值范围问题. 3°值域

值域是全体函数值所组成的集合.在一般情况下，一旦定义域和对应法则确定，函数的值域也就随之确定.因此，判断两个函数是否相同，只要看其定义域与对应法则是否完全相同，若相同就是同一个函数，若定义域和对应法则中有一个不同，就不是同一个函数. 同一函数概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。

如果两个函数的定义域和对应法则相同虽然表示自变量的与函数的字母不相同，那么它们仍然是同一个函数，但是如果定义域与对应法则中至少有一个不相同，那么它们就不是同一个函数. 设计意图：通过集合与对应的语言来刻画初中已学函数，使学生加深理解函数的本质及构成函数的基本要素. （四）练习内化，加深理解

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1、加深对函数概念的理解（例1：）

变式训练1：

(1) y1(xR)是函数吗？（是）

(2)yx(x0)是函数吗？（不是）

(3)yA 0 1 2 B 1 2A 1 2B 4 5 6 A 1 2 3 4 B 4 5 B 4 5 6 xy9 3 (1)3 116164 2 否

A 1 2 3 是

是

B 4 5 6 A 1 2 是

7 否

6 x-31x是函数吗？（不是）

方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？

可依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的哪些关键词？

由学生总结得到：

(1)理解函数的定义应注意：①符号“f:A→B”表示从A到B的一个函数；

②函数是非空数集A到非空数集B上的一种对应；③集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性. (2)判断函数的标准可以简化成：两个非空数集A，B，一个对应关系. 设计意图：使学生更深刻理解函数的概念，培养学生的数学应用意识. 例2：

已知函数f(x)x312，（1）求函数的定义域，（2）求f(3),f()的值，（3）当x23a0时，求f(a),f(a1)的值。

解：（1）使根式x3有意义的实数x的集合是xx3，使分式1有意义的实数x的集合x2是xx2，所以，这个函数的定义域是：xx3xx2



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（2）f(3)3311

32 f()2321333

3238323（3）因为a0，所以f(a),f(a1)有意义：

11 f(a1)a2

a2a1变式练习2：下列函数中那个与函数yx相等？

f(a)a3x2A、y(x) B、yx C、yx D、y

x2332小结：求函数定义域的依据：若是整式f(x)，应使xR；对于分式f(x)，应使g(x)0；对于g(x)根式0应使f(x)0；对于式子3f(x)，应使f(x)R；对于式子f(x)，应使f(x)0。

f(x)，（五）课堂小结

（六）目标检测

1、求下列函数的定义域

（1）f(x)3x64x （2）f(x)x2 （3）2 （4）f(x)

x4x3x2x12、求函数f(x)1xx31的定义域。

23、已知函数(x)3x2x，求f(2)f(a)的值

设计意图：对当堂知识点进行总结和检测

（七）分层配餐

A组

1、求下列函数的定义域．

（1）、f(x)2x134x （2）f(x)1. x21(x1)21x的定义域

2、求函数yx13、已知函数f(x)＝6－x＋4，(1)求函数f(x)的定义域；(2)求f(－1), f(12)的值．

x－1B组

设计意图：巩固基础知识

7

14、

设f(x)＝，则f(f(a))________。

1－x5、已知函数f(x)＝x＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是(

) 设计意图：进一步提高学生应用知识分析问题和解决问题的能力。

C组

6、已知函数f(x)＝x112， (1)求f(2)与f， f(3)与f；

1＋x231(2)由(1)中求得结果，你能发现f(x)与f有什么关系？并证明你的发现；

x111. (3)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 013)＋f＋f＋…＋f232 01322设计意图：巩固学生对本节课重难点的掌握。

六、板书设计：

1、

初中的函数概念

2、

高中的函数概念

3、

函数的三要素

案例分析

共同点

不同点

例题讲解：

例1：详细写出解答过程

七、教学反思_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________ _____________________________________ ____________ _______________

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