阅读与思考 函数概念的发展历程优秀教学实录

第4讲

函数概念及其表示

课前双击巩固

1.函数与映射的概念

两集合

函数

设A,B是两个

设A,B是两个

映射

A,B

对应

关系

f:A→B

名称

记法

按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的

一个数x,在集合B中都有

的数f(x)与之对应 称

为从集合A到集合B的一个函数 按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的

一个元素x,在集合B中都有

的元素y与之

对应 称对应

为从集合A到集合B的一个映射 对应f:A→B

y=f(x),x∈A

2.函数的三要素

函数由

、

和对应关系三个要素构成.在函数y=f(x),x∈A中,x叫作自变量,x的取值范围A叫作函数的

.与x的值相对应的y值叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作函数的

.

3.函数的表示法

函数的常用表示方法:

、

、

.

4.分段函数

若函数在其定义域内,对于定义域内的不同取值区间,有着不同的

,这样的函数通常叫作分段函数.分段函数虽由几个部分组成,但它表示的是一个函数.

常用结论

1.常见函数的定义域

(1)分式函数中分母不等于0.

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数、二次函数的定义域为R.

(4)y=ax(a>0且a≠1),y=sin x,y=cos x的定义域均为R.

(5)y=tan x的定义域为

且

∈ .

(6)函数f(x)=xα的定义域为{x|x∈R且x≠0}.

2.基本初等函数的值域

(1)y=kx+b(k≠0)的值域是R.

(2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:当

a>0时,值域为

-

;当a<0时,值域为

-

-

.

(3)y=(k≠0)的值域是{y|y≠0}.

(4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0,+∞).

(5)y=logax(a>0且a≠1)的值域是R.

题组一

常识题

1.[教材改编]

以下属于函数的有

.(填序号)

①y=±

;②y2=x-1;③y=

-

+

;④y=x2-2(x∈N).

2.[教材改编]

已知函数f(x)=

-

若f[f(e)]=2a,则实数a=

.

3.[教材改编]

函数f(x)= 的定义域是

.

4.[教材改编]

已知集合A={1,2,3,4},B={a,b,c},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域C的不同情况有

种.

题组二

常错题

◆索引:对函数概念理解不透彻;对分段函数解不等式时忘记范围;换元法求解析式,反解忽视范围;对函数值域理解不透彻.

5.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是

.(填序号)

①f:x→y=

x;②f:x→y=

x;③f:x→y=

x;④f:x→y=

.

则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为

.

6.设函数f(x)=

-

7.已知f(

)=x-1,则f(x)=

.

8.若一系列函数的解析式相同、值域相同,但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为y=x2,值域为{1,4}的“同族函数”共有

个.

课堂考点探究

探究点一

函数的定义域

考向1

求给定函数解析式的定义域

1 (1)[2017·洛阳调研]

下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=eln x的定义域和值域相同的是

(

) A.y=x

B.y=ln x

C.y=

D.y=10x

(2)[2017·揭阳二模]

函数f(x)=

+lg(6-3x)的定义域为

(

) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.[-1,2) D.[-1,2] [总结反思] 已知解析式的函数,其定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合,求解时只要根据函数解析式列出自变量满足的不等式(组),得出不等式(组)的解集即可.

考向2

求抽象函数的定义域

2 (1)若函数y=f(x)的定义域为[-1,1),则函数y=f(x2-3)的定义域为

.

(2)已知f(2x)的定义域是[-1,2],则f(log2x)的定义域为

.

[总结反思] (1)若f(x)的定义域为[m,n],则在f[g(x)]中,m≤g(x)≤n,从中解得x的范围即为f[g(x)]的定义域;(2)若f[g(x)]的定义域为[m,n],则由m≤x≤n确定g(x)的范围,即为f(x)的定义域.

考向3

已知定义域求参数范围

3 (1)设f(x)的定义域为[0,1],要使函数f(x-a)+f(x+a)有定义,则a的取值范围为

(

) A.

-

-

B.

-

C.

D.

-

-

∪

(2)已知函数y=

-

的定义域为R,则实数m的取值范围是

.

[总结反思] 根据函数的定义域,将问题转化为含参数的不等式(组),进而求解参数范围.

强化演练

1.【考向2】已知函数y=f(x)的定义域是[-2,3],则y=f(2x-1)的定义域是

A.

B.[-1,4]

(

) C.

-

D.[-5,5]

-

2.【考向2】若函数y=f(x)的定义域为[0,2],则函数g(x)=A.[0,1) B.[0,1] C.[0,1)∪(1,4] D.(0,1) 的定义域是

(

) 3【考向.1】[2017·江西重点中学盟校联考]

函数y=ln1+

+

的定义域为

.

4.【考向3】函数f(x)=

的定义域为R,则实数a的取值范围是

.

5.【考向3】记函数f(x)=

的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.若B⊆A,则实数a的取值范围为

.

探究点二

函数的解析式

4 (1)已知f

- =ln x,则f(x)= .

(2)已知f(x)是二次函数且f(0)=5,f(x+1)-f(x)=x-1,则f(x)=

.

(3)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=3

·f

+1,则f(x)=

.

[总结反思] 求函数解析式的常用方法: (1)待定系数法:已知函数的类型,可用待定系数法.

(2)换元法:已知复合函数f[g(x)]的解析式,可用换元法,此时要注意新元的取值范围.

(3)构造法:已知关于f(x)与f

(或f(-x))的关系式,可根据已知条件再构造出另外一个等式,两

等式组成方程组,通过解方程组求出f(x).

(4)配凑法:由已知条件f[g(x)]=F(x),可将F(x)改写成关于g(x)的解析式,然后以x替代g(x),便得f(x)的解析式.

式题

(1)已知f(

+1)=x+2

,则f(x)=

.

(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x).若当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x),则当-1≤x<0时,f(x)=

.

(3)定义在(-1,1)内的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)=lg(x+1),则f(x)=

.

探究点三

分段函数

考向1

分段函数的函数求值问题

则f[f(-1)]=

.

5 (1)[2017·河南新乡二模]

已知函数f(x)=

(2)[2017·抚州七校联考]

设函数f(x)=

则f(3)+f(4)=

.

[总结反思] 求分段函数的函数值时务必要确定自变量所在的区间及其对应关系,对于复合函数的求值问题,应由里到外地依次求值.

考向2

分段函数的自变量求值问题

-

6 [2017·湘潭一中、长沙一中等六校联考]

已知f(x)=

若f(a)=2,则a的取值-

为

(

) A.2 B.-1或2 C.±1或2 D.1或2

[总结反思] 与分段函数有关的自变量的求值问题,求解关键是分类讨论思想的应用.

考向3

分段函数与方程、不等式问题

f(a)>

,则实数a的取值范围是

(

) 7 (1)已知函数f(x)=

若

A.(-1,0)∪(

,+∞) B.(-1,

)

C.(-1,0)∪

D.

- (2)[2017·渭南二模]

设f(x)=

-

f[f(4)]= ,则a=

.

若

-

[总结反思] 涉及与分段函数有关的不等式与方程问题,主要表现为解不等式(或方程).若自变量取值不确定,则要分类讨论求解;若自变量取值确定,则只需依据自变量的情况,直接代入相应解析式求解.

强化演练

1.【考向1】[2017·桂林中学三模]

已知函数f(x)=

A.-

则f(2+log32)的值为(

)

B.

C.

D.-54 2.【考向1】已知a>0且a≠1,函数f(x)=

(

)

满足f(0)=2,f(-1)=3,则f[f(-3)]=

A.-3

B.-2 C.3

D.2 -

-

3【.考向2】[2017·石家庄二中三模]

已知函数f(x)=

-

若f(2-a)=1,则a=(

)

-

A.-2 B.-1 C.-1或-

D.2 - 4.【考向3】已知函数f(x)=

则满足f(a)≥2的实数a的取值范围是

(

)

A.(-∞,-2)∪(0,+∞) B.(-1,0) C.(-2,0) D.(-∞,-1]∪[0,+∞)

-

5.【考向3】设函数f(x)=

则满足f[f(a)]=2f(a)的a的取值范围是

A.

B.[0,1]

(

) C.

D.[1,+∞)