阅读与思考 函数概念的发展历程教学内容分析

函数的单调性教学设计

李

梅（宁蒗一中）

【教材分析】《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力。

【教学目标】

知识与技能：

1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念.

2．使大多数学生初步学会利用函数图象和单调性定义判断证明函数的单调性的方法.

3.通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察,归纳,抽象能力和语言表达能力.

【重点难点】

重点：函数单调性概念的理解及应用。

难点：函数单调性的判定及证明。

关键：增函数与减函数的概念的理解。

【教法分析】

为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取了：

1．通过学生熟悉的实际生活问题引入课题，为概念学习创设情境，拉近数学与现实的距离，激发学生求知欲，调动学生主体参与的积极性。

2．在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。

3．在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。

【学法分析】

在教学过程中，教师设置问题情景让学生想办法解决；通过教师的启发点拨，学生的不断探索，最终把解决问题的核心归结到判断函数的单调性。然后通过对函数单调性的概念的学习理解，最终把问题解决。整个过程学生主动参与、积极思考、探索尝试的动态活动之中；同时让学生体验到了学习数学的快乐，培养了学生自主学习的能力和以严谨的科学态度研究问题的习惯。

【教学过程设计】

（一）问题情境

教师和学生一起举出生活中描述上升或下降的变化规律的成语：步步高升.蒸蒸日上.每况愈下、一落千丈.潮起潮落.此起彼伏。用学过的函数图象来描绘这些成语？

观察学生绘制的函数图象,指出图象的变化的趋势

y=x/1

yx11

步步高升（一次函数）

每况愈下（反比例函数）

此起彼伏（二次函数）

观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。例如：初中研究y=x²

时，我们知道，当x<0时，函数值y随x的增大而减小，当x>0时，函数值y随x的增大而增大。回忆初中对函数单调性的解释：图象呈逐渐上升趋势数值y随x的增大而增大；图象呈逐渐下降趋势数值y随x的增大而减小。函数图象的上升下降函数的基本性质~单调性.如何描述图象的上升和下降呢?

形:图象呈上升的趋势

2

数:随着x的增大y也不断的增大

y yx2

O x y

f(x1)f(x)

O x

1x2

x

y

yf(x)f(x)f(x)

形：图象呈下降的趋势

O

1

2

数：随着x的增大y不断的减小

21

xxx

总结：图象呈逐渐上升的趋势数值y着x增大而增大

。图象呈逐渐下降的趋势数值y随x增大而减小

。函数的这种性质称为函数的单调性。用符号化的数学语言来准确地表述函数的单调性。

如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1

、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜ f（x2），那么就说f（x）.在这个区间上是增函数. 如何定义减函数（可以通过类比的方法由学生给出）

说明一：

D称为函数的单调区间。

函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，就称函数y=f(x）在区间上有单调性。

说明二：增函数和减函数的定义中两个变量x1,x2: 1. 必须在同一单调区间上; 2. 必须是任意的,不能用定值代替; 3. 必须设定它们的大小关系后,比

较y1,y2 的大小才有意义. 二：讲解例题

例：证明函数f(x)=2x+1在区间(-∞,+∞)上是增函数。

证明函数单调性的步骤：第一步：取值.即任取区间内的两个值，且x1

第二步：作差变形.将f(x1)－f(x2)通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。

第三步：定号.确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。第四步：下结论.根据定义作出结论。

三：课堂练习

练习：判断函数f(x)=1/x在区间(0,+∞)上是增函数还是减函数？并证明你的结论。

四：小结

增函数

减函数

12

f(x)f(x2)

1x1

x2

21

f(x

yf(x))f(x)

O xx

形:图象自左到右呈上升趋势

形:图象自左到右呈下降趋势

数:y随x的增大而增大

数:y随x的增大而减小

1）单调递增函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1

2）单调递减函数的定义：一般地，设函数f(x)的定义域为I,如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。

五、布置作业

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