阅读与思考 函数概念的发展历程教学实录及点评

1．2．1函数的概念（教学设计）

从化中学

邝柏威

一、教学目标

1、

知识与技能：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．高中阶段不仅把函数看成变量之间的依赖关系，同时还用集合与对应的语言刻画函数，高中阶段更注重函数模型化的思想与意识．

2、过程与方法：

（1）通过实例，进一步体会函数概念；了解构成函数的要素；

（2）会求一些简单函数的定义域；

（3）能够正确使用“区间”的符号表示数的范围．

3、情态与价值，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学习的积极性．

二、教学重点与难点：

重点：理解函数的概念，用集合与对应的语言来刻画函数；

难点：符号“y=f(x)”的含义，函数定义域求法．

三、学情分析

学生在初中学习过函数的概念，并且知道可以用函数描述变量之间的依赖关系．然而，函数概念本身的表述较为抽象，学生对于动态与静态的认识尚为薄弱，对函数概念的本质缺乏一定的认识，对进一步学习函数的图象与性质造成了一定的难度．因此，用集合与对应的思想来理解函数，对函数概念的再认识，就很有必要．由于数学符号的抽象性，学生因此会望而却步，从而影响了学生学习数学的积极性．在本节课的教学过程中，教师应该给学生提供实践动手的机会，为学生创设熟悉的问题情境，引导学生观察、计算、思考，从而理解问题的本质，归纳总结出结论 . 四、教学思路

（一）复习引入

初中的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？

设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数. 初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等．

（二）函数的概念

函数的概念:设A，B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的

1 / 4

任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:AB为从集合A到集合B的函数，记作yf(x)， xA 例1：判断下列对应关系是否为函数关系．

A

1

0

-1

B

0

A

1

0

-1

B

0

1

2

A

1

0

-1

B

A

平方平方平方

分析：

①

1

②

1

③

开平方1



0

④

B

1

0

-1

1、体会“对于集合A中的任意一个x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应”；

2、值域是由定义域和对应关系决定的，值域是集合B的子集．

解：（略）

例2：下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y = (x);

（2）y分析：

1、

构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）2、两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，与表示自变量和函数值的字母无关. 解：（略）

回顾函数的概念，师生共同归纳以下三点：

1、函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应

f:AB;这里 A, B 为非空的数集. 2、函数的三要素：A：定义域；f(x)|xA：值域，其中f(x)|xA

 B ；f：对应法则

，

xA ，

yB. 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）．

3、函数符号：yf(x)

y是

x

的函数，简记

f(x)．

（三）区间的概念

请同学们研读课本相关内容后完成下表：

2 / 4

2 3t3

;

（3）y =x2

t2;

（4）y．

t

定义

名称

闭区间

符号

数轴表示

a

b

x|axb

a,b

x|axb

x|axb

x|axb

教师指导学生自学，解决学生提出的问题，并提出说明：

1、

区间是集合；

2、

区间的左端点必小于右端点；

3、

无穷大是一个符号，不是一个数；

4、

以“”或“+”为区间的一端时，这一端必须是小括号．

0，(,)，(,)，，上面例2各小题函数的定义域用区间表示分别为：（1）（2）（3）（4）(,0)(0,)．

（四）重点题型：

例3：已知函数f (x) = x3+1

x2（1）求函数的定义域；

（2）求f（－3），f (2)的值；

3（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值. 分析：给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合，函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

解：略

例4、设一个矩形周长为80，其中一边长为x，求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域. 分析：由题意知，另一边长为所以s=802x，且边长为正数，所以0＜x＜40. 2802xx

= （40－x）x

（0＜x＜40）

2引导学生小结几类函数的定义域：

1、如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R ；

3 / 4

2、如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合

；

3、如果f(x)是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合；

4、如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数集合.（即求各集合的交集）；

5、满足实际问题有意义．

五、归纳小结

1、从具体实例引入了函数的概念，用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概念；

2、初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法，同时引出了区间的概念．

六、布置作业：

1、判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？

①

f ( x ) = (x

－1) 0；g ( x ) = 1

②

f ( x ) = x；

g ( x ) = ③

f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 22、求下列函数的定义域

①

f(x)

x2

x2

④

f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 11

②

f(x)

1x|x|1x③

f(x) = x1+1x4

④

f(x) =

2xx2⑤

f(x)1xx31

3、求例2各小题函数的值域．

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