阅读与思考 函数概念的发展历程教学设计(第二课时)

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。

判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: , 。

2、若函数

既是奇函数又是偶函数,则

恒等于零,这样的函数有无数个。

3、如果点

是原函数图象上的点,那么点

就是其反函数图象上的点。

4、反函数的相关性质: (1)互为反函数的两个函数具有相同的的单调性,单调区间不一定相同; (2)定义域上的单调函数必有反函数;(函数单调只能作为存在反函数的充分条件) 只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数。(存在反函数的充要条件) (3)奇函数的反函数也是奇函数。偶函数不存在反函数(定义域为单元素集的偶函数除外); (4)周期函数不存在反函数; (5)若

是连续单调递增函数,则" 与

的图象有公共点" " 的图象与直线

有公共点" "方程

有解"; (6)若

为增函数,则

与

的图象的交点必在直线

上; (7)函数

的图象与函数

的图象关于直线

对称; (8)函数

与

的图象关于直线

对称。

5、两个函数相同,当且仅当它们的定义域和对应法则分别相同。

6、

对

恒成立

或

其中

。 7、二次函数的三种表现形式: (1)一般式

;

(2)顶点式: 其中

为抛物线顶点坐标; (3)零点式: 其中

、

为抛物线与

轴两个交点的横坐标。

8、不等式中的恒成立问题与不等式的有解问题对比: (1) 在

的定义域上恒成立

; (2) 在

的定义域上恒成立

; (3) 在

的定义域上有解

; (4) 在

的定义域上有解

。

某些恒成立问题有时通过分离变量(在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个为所求,这时可通过恒等变形将两个变量分置于等号或不等号两边)将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题,从而求解。

9、对于函数中的恒成立问题补充两点说明: (1)若

恒成立,则M不一定为

的最大值。若

恒成立,则m不一定为

的最小值; (2)若

恒成立,则

为的最大值,若

恒成立,则

为的最小值。

10、函数

的最小值为

。

11、重要工具函数

的性质:不妨设 (1) 时,函数在区间

上单调递增; (2) 时,函数在区间

上单调递减,在区间

上单调递增。

12、关于函数对称性,奇偶性与周期性的关系: 类型之一:线线型

周期性

(1)若函数

在

上的图象关于直线

与

都对称,则函数

是

上的周期函

数, 是它的一个周期。

(2)若函数

为偶函数,且图象关于直线

对称,则

为周期函数, 是它的一个周期。

类型之二:点线型

周期性

(1)若函数

在

上的图象关于点

和直线

都对称,则函数

是

上的周期函数, 是函数

在

上的一个周期。

(2)若函数

为偶函数,且图象关于点

成中心对称,则函数

为周期函数, 是它的一个周期。

(3)若函数

为奇函数,且图象关于直线

对称,则

为周期函数, 是它的一个周期。

类型之三:点点型

周期性

(1)若函数

在

上的图象关于相异两点

、

都对称,则函数

是

上的周期函数, 是它的一个周期。

(2)若函数

为奇函数,且图象关于点

成中心对称,则函数

为周期函数, 是它的一个周期。

13、由函数方程推导函数周期的常见类型: (1)若函数

满足

,则

,则

是

上的周期函数,且

是它的一个周期。

(2)若函数

满足

,则

是

上的周期函数,且

是它的一个周期。

(3)若对于任意一个实数

,都有

,则

是

上的周期函数,且

是它的一个周期。

(4)若对于任意一个实数

,都有

,则

是

上的周期函数,且

是它的一个周期。

(5)定义在

上的函数

,若存在非零正实数

,对于一切

,都有

,则

是以

为周期的函数。

(6)定义在

上的函数

,若存在非零正实数

,对于一切

,都有

,则

是以

为周期的函数。(过度关系: ) (7)定义在

上的函数

对于

都有

,则

是以6为周期的函数。(过度关系: (8)定义在

上的函数

对于

都有

,则

是以6为周期的函数。

(过度关系: ) (9)若

是函数

的任意一个周期,则

的相反数

也是

的周期; 也是

的周期;若

都是

的周期,且

,则

也是

的周期。

说明:对于(1)~(5),其代换函数,有如下特点:原函数与反函数相同,代换两次能够还原。如: 都是原函数与反函数相同的函数,即

。可见本章-24。

14、函数图象的自身对称问题: (1)偶函数的图象关于y轴对称;(轴对称) (2)奇函数的图象关于原点对称;(中心对称) (3)定义在

上的函数

,若满足

,则函数

的图象关于直线

对称;( ,即:"取平均值",与m的值无关) (4)定义在

上的函数

,若满足

,则函数

的图象关于点

中心对称; (5)定义在

上的函数

,若满足

(或

),则函数

的图象关于点

中心对称。

15、两函数图象间的对称问题: (1)定义在

上的函数

与函数

的图象关于直线

对称;(其对称轴方程

由

解得,与m的值有关) (2)定义在

上的函数

与函数

的图象关于点

中心对称; (3)定义在

上的函数

与函数

的图象关于点

中心对称; (4)特别地:①函数

关于x轴对称的函数为: ②函数

关于y轴对称的函数为: ③函数

关于原点对称的函数为: ④函数

关于

对称的函数为: ⑤函数

关于

对称的函数为: ⑥函数

关于直线

轴对称的函数为: ; ⑦函数

关于直线

轴对称的函数为: ; ⑧函数

关于点

中心对称的函数为: 。

16、若函数

为奇函数,且定义域为

,则必有

。

若函数

是偶函数,那么

。

17、基本的函数图象变换: (1)要作

的图象,只须将

的图象向上( 时)或向下( 时) 平移

个单位; (2)要作

的图象,只须将

的图象向右( 时)或向左( 时)平移

个单位; (3)要作

的图象,可先作函数

的图象,然后将

轴上方部分保持不变, 轴下方部分沿

轴对称上翻即可; (4)要作

的图象,只需保留

在

轴右边的图象(擦去

轴左边的图解),然后将

轴右边部分对称地翻折到左侧即可。(注意

是偶函数)。

(5)要作

的图象,只须将

的图象作关于直线

对称,也可以将

的图象

先作关于y轴对称,再向右( 时)或向左( 时)平移

个单位; 18、对称轴的斜率为

时的对称变换: (1)曲线

关于直线

的对称曲线为

; (2)曲线

关于直线

的对称曲线为

; (3)点

关于直线

的对称点为

; (4)点

关于直线

的对称点为

。

19、函数

按向量

平移后的函数表达式为: ; 20、判断

符号可以1为分界点,当

在1的同侧( 或

)时, ;当

在1的两侧时, 。可以概括为:"同向为正,异向为负" 21、关于函数

的定义域为

或值域为

的问题: (1)若其定义域为

,则须

在

上恒成立,问题等价为: 或

其中

; &nbs

或

其中

。

22、当且仅当

时,函数

与函数

的图象相切于直线

上的点

。

23、一次分式函数

的相关性质: (1)定义域: ; (2)值域: ; (3)图像:双曲线线; (4)渐近线: ; (5)对称中心: ; (6)单调性:①当

, 单调递减, 单调递减;

②当

, 单调递增, 单调递增; 特别地:当

,即

时,函数

和其反函数

为同一函数。也即函数

的图像关于直线

对称。

24、用函数方程法求函数解析式应注意的问题

一般地,形如: ,其中

已知,要求

的解析式,通常的做法为:用

去替代原式中所有的

,得到

,若此式中的

,则可以得到: ,再将此式与原式联立,消掉

,就可以求出

,故能用此法求解的关键在于: ,此式说明

必满足,原函数与反函数为同一函数。例如: , , 等。

25、抽象函数中的相关问题

(1)奇偶性的判断

①若

( ),则

为奇函数; ②若

( ),则

为奇函数; ③若

( ),则

为偶函数; ④若

( ),则

为奇函数; ⑤若

,则

为偶函数。

(2)单调性的判断

①

;(作差比较函数值) ②

。(作差比较函数值) 26、求函数值域的类型与方法归类

(1)直接法,直接观察,根据式子的结构特征得出值域。

(2)配方法,适用于二次型函数: 。

(3)反函数法,分离x或关于x的表达式,求y的范围,形如: 等形式。

(4)判别式法,适用于二次分式函数: 。

(5)均值不等式法,适用于: ,注意一正二定三相等。

(6)换元法,适用于: ,可令

则

,转化为二次型。

三角换元法,含

结构的函数中可

。

(7)单调法,利用导数求得函数的单调区间和极值,得到值域。

(8)数形结合法,转化成相应的几何意义,如:距离,斜率,角度等。