阅读与思考 函数概念的发展历程教学实录及点评

函数概念的发展历程教学设计

孝义市第四中学校

侯佳

探究课

1课时

一、教材分析

本节课的课题《函数概念的发展历程》选自新课标高中数学人教（A）版必修1第一章第二节后面的阅读与思考部分。

函数是中学数学的重要内容，也是中学数学教学的难点，其思想贯穿人教版数学教材的始终。但由于函数概念的抽象性，学生在理解函数概念上存在较大的困难，通过阅读与思考函数概念的发展历程，让学生对函数概念发展的几个重要阶段及重要贡献人物有所了解，提升学生学习函数概念的兴趣，加深学生对函数概念的理解，培养学生对所有推动科学进步的伟大人物的敬畏之情，同时也为下一节函数基本性质的学习作一个良好的铺垫。

二、学情分析

我所任教的学校生源较差，学生基础比较薄弱，自主学习能力不强。这节课其实非常适合采用“课前让学生收集资料，课上小组展示，互相补充，最后由师生共同总结呈现”的教学方式，但以前也尝试过类似的教学方式，效果不佳，我校学生自主学习和自我表达的能力在今后的学习中还需要慢慢培养。

在学生的知识储备方面，在函数概念的发展历程这部分内容之前，学生刚刚学过函数的概念和函数的表示方法，对函数概念已有一定的认识。

三、教学准备

1.

学生预习

在授课之前，安排我班学生预习必修一教材26页，并利用网络或其他途径尽可能查阅一些相关资料。

2.

参考文献

由于教材中对于函数概念发展历程的介绍很少，所以我又查阅了一些函数概念发展及函数概念教学方面的文献，作为课堂补充，主要有：

[1] 曾国光.中学生函数概念认知发展研究[J].数学教育学报，2002,(2).

[2] 课程教材研究所.普通高中课程要求实验教科书教师教学用书.数学1.必修A版 [M].北京：人民教育出版社，2007.

[3] 杨红.论函数概念发展史对函数教学的启示[J].楚雄师范学院学报.2007(6).

[4] 陈新华.小学数学教材和教学中的函数思想的研究[D].北京：首都师范大学，2008.

[5] 课程教材研究所.义务教育教科书教师教学用书.数学.八年级/上册[M].北京：人民教育出版社，2012. [6] 课程教材研究所.义务教育课程要求实验教科书·数学(一年级上册到九年级下册）[M]．北京：人民教育出版社，2014. [7] 吕世虎，贾随军等.中学数学课程标准与教材研究[M].北京：高等教育出版社，2015. [8] 叶伶利.中学数学教材螺旋式编排比较研究 ---以“函数”为例[D].贵阳：贵州师范大学，2017. [9] 冀伟明.中小学数学课程中函数内容的发展主线研究[D].上海：华东师范大学，2017. [10] 汤小青.深入理解函数概念的本质属性[J].上海中学数学.2018(7-8).

四、教学目标

知识与技能：1.了解函数概念的发展历程；

2.了解小学、初中、高中函数概念的发展路径；

3.掌握函数概念的三要素，深入理解函数概念的本质。

过程与方法：通过梳理函数概念的发展历程，结合小初高函数概念的表达方式，让学生对函数概念发展的几个重要阶段有所了解，提升学生学习函数概念的兴趣，加深学生对函数概念的理解。

情感态度价值观：培养学生对所有推动科学进步的伟大人物的敬畏之情，激发学生探索未知的欲望。

五、教学重难点

教学重点：掌握函数概念的三要素，深入理解函数概念的本质。

教学难点：了解函数概念发展的几个重要阶段与小初高函数概念表达方式的关系。

六、教法与学法

教法：讲授法、问题探究法、讨论法

学法：合作学习法

七、教学过程

（一）教师引入

介绍函数概念在世界各地中学教材中的重要地位，激发学生对函数概念来源

的好奇，引出课堂——函数概念的发展历程。

明确本堂课的三个知识与技能方面的目标：

1.了解函数概念的发展历程；

2.了解小学、初中、高中函数概念的发展路径；

3.掌握函数概念的三要素，深入理解函数概念的本质。

（二）函数概念的发展历程

函数概念发展的萌芽：早期的数学是不研究事物的运动变化的，运动变化是物理学研究的对象，但是随着生活实践的需要，数学家们也开始关注两变量之间的变化关系，从此实现了由常量数学到变量数学的过渡。

莱布尼茨：早在1673年，德国数学家莱布尼茨（Leibniz）在其手稿中首次提到了Function，他用函数描述任一随着曲线上的点而变化的量，如法线、切线、弦长、横纵坐标等，从几何的角度揭示了某些变量之间存在的关系；

伯努利：到了1718年，微积分迅猛发展，来自瑞士的科学家伯努利（Bernoulli）给出了函数的解析定义：函数是变量和常量组合起来的式子；

欧拉：1755年，瑞士数学家欧拉（Euler）在《无穷小分析引论》中提出了函数的变量说：“如果某变量以如下方式依赖于另一些变量，即当后者发生变化时，前者本身也发生变化，则称前一个变量是后一个变量的函数”；

傅里叶：1822年，法国数学家傅里叶发现某些函数可以用曲线表示，也可以用多个式子表示，函数概念达到了新层次；

狄利克雷：1837年，德国数学家狄利克雷提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，则y是x的函数。”；

布尔巴基学派：

最终在1939年，由布尔巴基学派从“集合”的角度给出了函数新定义：设f是集合X与集合Y的关系，即f是笛卡尔积的子集。若f满足对于每一个x∈X，都存在唯一的一个y∈Y，使得（x,y）∈f，则称f是一个函数。

师生一起总结函数概念的发展历程，明确每位数学家对函数概念的发展做出

的重要贡献。

老师提出第一个问题：

Q1：函数是什么？

A.

函数是一个数 B.函数是一个式子 C.函数是一种关系

预设回答：对应关系

老师提出第二个问题：

Q2：你认为在小学阶段接触过函数吗？

（此环节为小组讨论，教师参与，最后小组代表发言）

生1：……

生2：……

（三）小初高的函数概念发展路径

1.小学数学中的函数概念渗透

（1）探索规律

数字间蕴含的规律

图形排列或图形运动变换的规律

运算规律（例如加法结合律、交换律等）

（2）基本的数量关系

简单的四则运算：加数+加数=和；

一个加数=另一个加数等等；

应用题中的数量关系：速度×时间=路程；

单价×数量=总价；

工作效率×工作时间=工作总量；

本金×利率×时间=利息……

探索规律可以帮助我们感受多种变化，而函数的核心就是“把握并刻画变化中的不变，其中变化的是‘过程’，不变的是‘规律’(关系)。”因此，小学数学教材中探索规律的内容设计是函数思想的重要体现。

2.初中数学中的函数概念

一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每

一个确定值，y都有唯一确定值与其对应，那么我们就说x是自变量

（independence variable），y是x的函数（function），如果当x=a时，y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。

强调“每一个”和“唯一确定值”

师：大家看，初中函数概念的前提是“在一个变化过程中”，有“两个变量”，与函数概念发展史中的“变量说”对应，强调变量间的依赖关系，也就是y随x的变化而变化。

接下来提出第三个问题：

Q3：“y=1”是否是一个函数呢？

让学生稍作思考，请一个学生谈谈自己的看法。

老师指出这种函数概念的弊端，引出集合论下的函数概念。

3.高中数学中的函数概念

一般地，设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于

集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A B为集合A到集合B的一个函数（function），记作y=f(x),x∈A.其中，x叫做自变量，x是取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x) |x∈A}叫做函数的值域（range）。

强调集合A中“任意一个数”，集合B中“唯一确定”。给学生举成绩单的例子，一个学生有且只能有一个成绩，但是多个学生可以考相同成绩，理解集合A中元素没有剩余，但集合B中元素可以有剩余，深刻理解函数概念对应的本质，并指出可以一对一，可以多对一。

Q4：自变量是否就是可以任意自由变化的量呢？

举例：商店买笔的例子；气温播报的例子等

通过举例让学生体会“自变量”并不是指不受任何约束可以自由变化的量，在实际的变化过程中，我们也需要对自变量的范围进行界定。所以在函数概念中还要掌握以下几个概念：

叫做函数的定义域；

叫做函数值；

叫做函数的值域。

其中，定义域、值域以及对应法则构成了函数的三要素。另外，还需要同学

们特别注意的是：

（1）在高中阶段中所有函数的定义域必须表示成集合的形式，不能简单的

用一个不等式去表示；

（2）定义域一般是实际问题中给定的（即限制定义域），如果没有说明定义域，其定义域就是使表达式有意义的数的集合（即自然定义域）。

通过上面的讲解，对小初高人教版数学教材中函数概念的发展路径做一个总

结（详见板书部分）。

（四）课堂练习（函数知多少）

1.如图所示，可表示函数图象的是（

）

A．① B. ②③④

C. ①③④ D. ②

2.设集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤4}，能表示集合P到集合Q的函数关系的有（ ）

A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②

3.下列各组函数表示同一函数的是（ ）

A. B. C. fxx2,gx

x2fx1,gxx032

fxx,gxx

32x21fxx1,gxx1

D.

x2,x124.分段函数 fx{x,1x2

是几个函数?

2x,x2 5.函数y=f(x)与y=f(t) （“是”或“不是”）同一个函数。

（五）课堂小结（你我知多少）

1.函数概念的发展历程

2.函数概念的三要素

3.函数概念的本质

八、作业布置

在了解了函数概念以后，三要素中，一个函数如果知道了定义域及其对应法则，那么值域肯定也就随之确定。请大家下课之后思考两个问题：

（1）如果定义域和值域给定，对应法则唯一确定吗? （2）同样地，如果值域和对应法则给定，定义域可以确定吗?

九、板书设计

（一）函数概念的发展历程

布尔巴基学派

（集合说） 狄利克雷（分段函数）

傅里叶（式子不唯一）

欧拉（变量说）

伯努利（解析式）

莱布尼茨（几何）

（二）小初高的函数概念发展路径

1.小学函数概念（作为算式）——渗透

2.初中函数概念（变量说） ——成形

3.高中函数概念（对应说） ——溯本（一对一、多对一）

（三）函数概念的三要素

定义域、值域、自变量

必须写成集合或区间形式