阅读与思考 函数概念的发展历程优秀公开课教案

§1.2.1 函数的概念（一）

四川省雅安市名山区第三中学 王阳奇

一、教材分析

本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修1》（人教A版）《1.2.1 函数的概念》共3课时，本节课是第1课时。

函数是数学的重要的基础概念之一，是高等数学重多学科的基础概念和重要的研究对象。同时函数也是物理学等其他学科的重要基础知识和研究工具，教学内容中蕴涵着极其丰富的辩证思想。函数的的重要性正如恩格斯所说：“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数，运动就进入了数学；有了变数，辩证法就进入了数学”。

二、学生学习情况分析

函数是中学数学的主体内容，学生在中学阶段对函数的认识分三个阶段：（一）初中从运动变化的角度来刻画函数，初步认识正比例、反比例、一次和二次函数；（二）高中用集合与对应的观点来刻画函数，研究函数的性质，学习典型的对、指、幂和三解函数；（三）高中用导数工具研究函数的单调性和最值。

三、教学目标分析

课标要求：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.

3．情感、态度与价值观目标：

感受生活中的数学，感悟事物之间联系与变化的辩证唯物主义观点。

四、教学重点、难点分析

1．教学重点：对函数概念的理解，用集合与对应的语言来刻画函数；

2．教学难点：第一：从实际问题中提炼出抽象的概念；第二：符号“y=f(x)”的含义的理解. 五、教法与学法分析

1．教法分析

本节课我主要采用教师导学法、知识迁移法和知识对比法，从学生熟悉的丰富实例出发，代定我。

2．学法分析

在教学过程中我注意在教学中引导学生用模型法分析函数问题、通过自主学习法总结“区间”的知识。

六、教学手段分析

PPT课件

七、

教学过程分析

教学环节

设计意图

从初中的函数概念（一）创设情境，引出概念

1．将函数概念从“运动变化”观点过渡到“集合与对应”入手，与学生原有知识对接。事实上，课堂上语言，初步引出函数的近代定义。

函数的概念在初中已作过介绍，它是这样表述的：设在一个很多学生都不能较准确变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，都有惟地回忆起这个初中的函数概念。反映了学生并一的值y与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 未抓住函数概念的“灵魂”。

1

因此，我首先引导学生将初中函数概念的进对应要求：每一个x——→唯一y

行概括表述——函数是教师在初中函数概念的基础上引导学生，将自变量的取值两个变量之间的一种对做成一个集合A，而把函数值看成是一个集合B的中元素，则应关系。有什么对应要函数的概念就可以用用集合的语言来描述：

求呢？每一个x，都有唯

函数是两个集合之间的一种对应关系：

一的y和它对应。

集合A——→集合B

函数是两个变量之间的一种对应关系：

2．阅读课本引例，体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想：

⑴炮弹的射高与时间的变化关系问题；（解析式法）

⑵南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题；（列表法）

⑶“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题.（图象法）

分析、归纳以上三个实例，使学生切实感受函数的三种表示法，更重要的是引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系，同时特别指出对“对应关系f”的强调，可以是解析式，也可以是表格，还可以是图象.

函数是两个集合之间的一种对应关系：

f : 集合A——→集合B 对应要求：任意一个x——→唯一y 对应要求：任意一个x——→唯一y

三个引例的作用三：

⑴体会函数的模型化思想，

⑵感知三种表示方法，全面认识函数；

⑶引导学生从集合与对应的角度分析这三个函数模型，体会对应关系的重要性和各种表现形式，完善函数的近代定义。

（二）准确定义，分析疑点

1．函数概念

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．

记作：

y=f(x)，x∈A．

定义域：自变量x的取值集合，即集合A.

由于与初中函数概念实现了很好的对接，概念的理解已不是难点，此时对函数符号的理解又上升为主要难点。

因此，这里着首剖析了概念的内涵与外延，值

域：函数值y取值集合，通常值域{y|yf(x)}B(这而值域是B集合的子集里先让学生记下，下一节课再解释)．

这一难点留至下一课2．概念剖析

时，以突出这节课的重①构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

点，分散难点。

②函数符号“y=f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，而不是f乘x．

③“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y=g(x)”；

（三）介绍区间，自学归纳

向学生指明区间是表1．由学生自己总结出区间的几种形式；

示“数轴上连续实数”2．思考区间与集合的关系.

的一种特殊集合，为了简便而引入的。

（四）知新温故，逻旋上升

函数的学习离不开典函数

定义域

值域

对应关系

型函数的载体，这里从

ykx(k0)

2

y=k(k≠0) x

y=ax+b(a≠0)

（五）巩固深化，反馈矫正

例1．已知函数f (x) = 新的角度梳理学过的常见函数，使认识逻旋上升。

1

x2x3+（1）求函数的定义域；

2（2）求f（－3），f ()的值；

3（3）当a＞0时，求f（a）,f(a－1)的值. 例2．下列函数中哪个与函数y=x相等？

（1）y = (x)2 ;

（2）y = (3x3)

;

x22

（3）y =x;

（4）y=

x例3．判断下列对应是否为函数

2（1）f:x(x0) x（2）f:xy.其中y2x，xN，yR

（3）f:xy.yx2，xA{2,1,2,3}，yB{1,4,9}

（4）f:xy.yx2，xA{1,2,3}，yB{1,4,9,10}

（5）f:xy.yx2，xA{1,2,3}，yB{1,4}

（六）归纳小结，知识梳理

1. 函数的定义:初中定义，高中定义

2. 函数三要素的认识

3. 函数符号的认识

4. 区间

（七）评价与作业

1．求下列函数定义域和值域

1（1）f(x)1x （2）g(x)

x12．生活中有许多函数的模型，试举出适合用解析式法、图象法和列表法表示的函数实例各一个。

3．思考：y=1（x∈A）是不是函数？

例题的设计，兼顾函数的符号表示、函数的概念与三要素，围绕重点问题设计。

总结时再次强调，学习函数的概念要抓住概念的灵魂，重在理解。

注意了梯度的拉开和与生活实践的联系，带着理论重新审视生活中的原型；同时，评价的设计还考虑了基础性、亲和力与发展能力并重的原则。

八、教学设计说明

本节课的设计紧紧围绕函数的概念这一核心，设计时注意了以下两点：

第一，注重在学生已有的知识基础上引出新知，从初中的函数定义自然过渡到高中的函数定义，再从集合与对应的角度重新分析初中的几种常见函数，温故知新，逻旋上升。

第二，注重理解，揭示函数概念的本质，抓住函数概念的灵魂，培养学生的概括能力。

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