阅读与思考 函数概念的发展历程板书设计及意图

《函数的概念》教学设计

安达市高级中学数学组 刘双

【课题】 1.2.1函数的概念

（一）

课前系统部分

【课标分析】

【教材分析】

懂得函数的概念以及与其相关知识的联系

1.本小节是函数概念课，它是在初中学过的函数概念的基础上学习的．函数概念是整个中学数学中最重要的基本概念之一. 2.本节内容是后续整个数学学习的基础．而函数又是初等数学和高等数学中最基本最重要的内容，它在数学的各个分支里经常用到．

3.本节内容是数学思想中数形结合思想、函数与方程思想产生的载体．

【学生分析】

1. 学生的学习习惯较好，但数学基础和归纳概括能力较弱，学生在初中已经学过有关函数的知识，但高中阶段要求对函数概念本质的理解，要求明显提高，本节内容比较抽象，概念性强，思维量大，学生对初中函数的定义有所遗忘，对于较抽象的知识理解起来有一定难度

2. 学生的自主探究、合作交流有了一定的基础且有较强的表现欲。

【教学目标】

1.知识目标：

(1) 理解函数的定义；理解函数的要素

(2) 理解函数值的概念及表示；会求函数的定义域

2.能力目标：

(1) 通过函数概念的学习，培养学生的数学思维能力； (2) 通过函数值的学习，培养学生的计算能力和计算工具使用技能；

3.情感目标： ⑴在数学史的学习中开阔视野，从教学中感悟数学概念的合理性、严谨性、科学性，感悟数学的本质，培养追求真理的精神。

⑵体会合作的乐趣，增强团队合作精神

【教学重点

与难点】

【教学策略】

重点：理解函数的概念，理解构成函数的三要素 难点：函数概念的理解

建构主义观点的教学方式，即通过大量实例，遵循“特殊到一般”的认识规律，提出问题，大胆猜想，确定方向，分组研究，尝试验证，归纳总结；通过搭建新概念与学生原有认识结构间的桥梁，使学生心理上得到认同，建立新的认识结构。

以数学应用为明线，讲数学背景、讲数学应用；以数学文化为暗线，讲数学概念

1

学习的必要性、合理性

【教学用具】

教学课件 （二）

课堂系统部分---教学过程

教 学 过 程

*揭示课题 3.1.1函数的概念

*创设情景

兴趣导入

今天我们来学习函数，函数一词是德国数学家莱布尼兹首先采用的，后经维布伦，林纳用集合与对应的观点，揭示了函数概念的本质，我国清代数学家李善兰在翻译《代数学》时，首先把“function”译成函数且给出定义“凡式中含天，为天之函数”。所以我们今天学习的函数，要感谢这些为数学奉献的数学家们。

下面我们来看这样一个实例

教师

行为

介绍

学生

行为

了解

观看

课件

思考

自我

分析

大胆

教学

意图

在数

学史

的学

习中

开阔

视野

从实

际事

例使

学生

自然

的走

向知

识点

问题 实例（1）学校商店销售某种果汁饮料，售价每瓶2.5元，

购买果汁饮料的瓶数与应付款之间具有什么关系呢？

解决 设购买果汁饮料x瓶，应付款为y，则计算购买果汁饮料应付款的算式为 y2.5x．

问题 实例（2）近几年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧空洞问题，图中曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979∽2001年的变化情况。

播放

课件

质疑

引导

解决 引导学生看图启发，从图中明显得知，对于数集A中的每一个时刻t都对应t时刻时曲线在该点的纵坐标。即在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积s与之对应，满足函数定义，也应为函数。发现图像也可以来刻画函数。

2

教 学 过 程

问题 实例（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高。表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化。

时间（年）

1995 1996 1997 城镇居民家庭恩格尔系数（%）

49.9 48.6 46.4 1998 44.5 教师

行为

1999 2000 2001

41.9 39.2 37.9

学生

行为

教学

意图

发言

引导

启发

学生

体会

对应

解决 若记A={t|1995≤t≤2001且t∈Z}，B={49.9、48.6··· }

学生探讨交流发现，对于表格中的任意一个时间t都有唯一确

定的恩格尔系数与之对应，即在数集A中的任意一个时间t在数集

B中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应，满足函数定义，应为函

数。发现表格也可以用来刻画函数。

归纳 实例（1）因为x表示购买果汁饮料瓶数，所以x可以取集合

0,1,2,3,中的任意一个值，按照算式法则y2.5x，应付款y有唯一的值与之对应．两个变量之间的这种对应关系叫做函数关系．

（设计意图：学习三种函数的实例，意在让学生初步了解本节课学并且为后面学习函数的三种表达方式做好铺垫。学生集体思考和探

习的任务。接下来的教学设计突出“建构—研究—应用”这一主线。

引导

讨，一是集中注意力尽快进入上课状态，二是引出函数应用的现象，）

分析

*动脑思考

探索新知

提问：这三个实例的不同点和共同点是什么？

不同点：实例（1）用解析式刻画变量之间的对应关系

实例（2）同图像刻画变量之间的对应关系

实例（2）同表格刻画变量之间的对应关系

共同点：①都有两个非空数集

②两个数集间都有一种确定的对应关系，即按照这种对应关系对于集合A中任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数与之启发

点拨

思考

在教

师下

归纳

总结

学生

认真

带领

学生

总结

上述

问题

得到

函数

概念

3

教 学 过 程

对应。因此，究其函数的本质，我们用集合和对应的观点给出函数全新的定义。

概念 在某一个变化过程中有两个变量x和y，设变量x的取值范围为数集D，如果对于D内的每一个x值，按照某个对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么，把x叫做自变量，把y叫做x的函数．

表示 将上述函数记作yfx．

变量x叫做自变量，数集D叫做函数的定义域．

当xx0时，函数yfx对应的值y0叫做函数yfx在点x0处的函数值．记作y0fx0. 教师

行为

仔细

分析

讲解

关键

词语

强调

说明

学生

行为

思考

理解

记忆

观察

领会

了解

思考

教学

意图

充分

讲解

函数

变量

和法

则之

间的

关系

引导

学生

思考

提高

分析

问题

解决

问题

的能

力

函数值的集合y|yfx,xD叫做函数的值域．

函数的定义域与对应法则一旦确定，函数的值域也就确定了．因此函数的定义域与对应法则叫做函数的两个要素．

说明 定义域与对应法则都相同的函数视为同一个函数，而与选用的字母无关．如函数yx与st表示的是同一个函数．

强调 ①函数首先是两个数集之间建立的对应

②对于x的每一个值，按照某种确定的对应关系f，都有唯一的y值

与它对应，这种对应应为数与数之间的一一对应或多一对应

③认真理解的含义：yf(x)是一个整体，yf(x)并不表示f与

；也可以

x的乘积，它是一种符号，它可以是解析式，如实例（1）是图像，如实例（2）；也可以是表格，如实例（3）；yf(x)如同引导

一个加工厂，把把输入x的数，按照某种加工过程如解析式，图像，分组

表格，加工成另外一个数值y。

（设计意图：先观察再探究，是一种合情推理，使教学环节显得生动，同时感受到接下来新知识学习的必要性。以实际问题解决为背景，引入函数概念，是想让学生感受到“数学是自然的”、“数学是有用的”，）

*巩固知识

典型例题

例１

求下列函数的定义域：

4

讨论

通过

教 学 过 程

（１）fx教师

行为

质疑

说明

引领

强调

提问

巡视

指导

引导

提问

说明

学生

行为

观察

思考

主动

求解

记忆

思考

动手

求解

交流

回忆

反思

记录

教学

意图

例题

强化

定义

域的

含义

及时

归纳

定义

域的

基本

情况

及时

了解

学生

知识

掌握

情况

培养

学生

反思

学习

的能

力

1；

（２）fx12x．

x1分析

如果函数的对应法则是用代数式表示的，那么函数的定义域就是使得这个代数式有意义的自变量的取值集合．

解

（１）由x10，得x1．

因此函数的定义域为x|x1，

用区间表示为,11,．

1（２）由12x0，得x． 21因此函数的定义域为,．

2归纳

代数式中含有分式，使得代数式有意义的条件是分母不等于零；代数式中含有二次根式，使得代数式有意义的条件是被开方式大于或等于零．

*运用知识

强化练习 教材练习1.2.1 1．求下列函数的定义域：

2（1）fx；（2）fxx26x5．

x4（设计意图：它们的作用主要是让学生熟悉定义和相关知识点。）

*归纳小结

强化思想

本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？

*自我反思

目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？

你是如何进行学习的？

你的学习效果如何？

*继续探索

活动探究

(1)读书部分：

教材章节1.2.1；

(2)书面作业：

学习与训练1.2.1训练题；

(3)实践调查：举出函数的生活实例．

5

22k

附件：板书设计

1.2.1函数的概念

1.函数定义： （数学公式表示）

2.函数的定义域

3.函数的要素

（主板书）

（三）

课后系统部分---教学后记

（1）《函数的概念》的设计中，我着重体现以“学生为主体”的教学理念“从形到数，从具体到抽象，从特殊到一般”为学习指导思想。以“看、说、用”为学习方法，把握重点，突破难点；整节课立足课本，着力挖掘，设计合理，层次分明，简单易懂，教学效果好。教法上突出学生的探究学习。尝试教学法与问题教学法相结合，让学生在问题中尝试，在尝试中成功，在成功中创新。

（2）

课程结束后让学生填课后评价表

活动参与度

4 3 2 1 （全部参加，很（全部参加，兴(一半人参加，(个别人参加，有兴趣）

趣一般）

兴趣不无兴趣）

大) 4 3 2 （完全理解）

（基本理解）

(了解一点) 1 （不理解）

多

学生展示

媒

体

屏

幕

（附板书）

概念的理解

练习的反馈

4（简单，顺利完3（较简单，经2（有一定难1(很难，完全成）

过思考能度，需要不能操独立完同学帮作) 成）

助）

与同学的交流、合作情4(合作愉快，希3（有部分合作，2

(很少合1（不喜欢与人况

望多些合可以适当作，更喜合作）

作式学习）

采用）

欢独立完成）

成果展示

4(内容清晰，语3(内容清晰，语2（内容基本完1(

内容凌言表达流言表达需成，语言乱，表述畅) 加强）

一般）

不清）

4很喜欢

3有点喜欢

2不太喜欢

1很不喜欢

对本节课的评价

6