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集合与函数4 函数的概念

集合与函数4 函数的概念

基本概念

一、函数的概念

1，概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．（一个x对应一个y，一个y对应的x不一定只有一个）

函数三要素：定义域、值域、对应关系

2，定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

求函数的定义域的方法：

(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被开方数不小于零；

(3)对数式的真数必须大于零；

(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零，

(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 相同函数的判断方法：①对应关系相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) 3，值域：先考虑其定义域

(1)观察法 (2)配方法 第1页（共15 页）

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(3)代换法 (换元法) 二、常见函数的基本性质（一次函数，二次函数，反比例函数）

1，

一次函数

ykxb(k0)定义域为R，值域为R。斜率是k，截距是b（b可正可负可零），和y轴的交点是(0,b)；当k>0时单调递增，k<0时单调递减；当b=0时为奇函数

2，

二次函数yax2bxc(a0)定义域为R，对称轴为xb，顶点坐标为2ab4acb24acb2(,)，和y轴的交点为（0，c）；当a>0时开口向上，有最小值，当2a4a4abb4acb2)单调递减，(,)单调递a<0时开口向下，有最大值；当a>0时, (,2a2a4a增；当a<0时, (,bb)单调递增，(,)单调递减；当b=0时为偶函数. 2a2a3，

反比例函数yk(k0)，定义域为{x|x0}，值域为{y|y0}；x轴和y轴均为渐近线；x当k>0时，递减区间为(,0),(0,)，当k<0时，递增区间为(,0),(0,). ybcbccxd中，x的取值范围是x，y的取值范围是y，图像关于(,)对称

aaaaaxb题型一 函数的概念 一、选择题

1. 下图中可作为函数

的图象的是

A.

B.

C.

D.

第2页（共15 页）

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2. 设集合

，

，给出如下四个图形，其中能表示从集合

到集合

的函数关系的是

A.

B.

C.

D.

3. 下列四个图形中，不是以

为自变量的函数的图象是

A.

B.

C.

D.

4. 函数

的图象与直线

的交点个数为

A.

B.

C.

或

5. 下列哪组中的两个函数是同一函数

A.

，

B.

，

C.

，

D.

第3页（共15 页）

D. 可多于

集合与函数4 函数的概念

6. 下列函数中，与函数

有相同图象的一个是

A.

B.

C.

7. 下列各组中的两个函数为同一函数的是

①

和

；

②

和

；

③

和

；

④

和

；

⑤

和

.

A. ①②

B. ②③

C. ③⑤

8. 下列函数与

表示同一函数的是

A.

B.

C.

二、填空题

9. 下列两个对应中是集合

到集合

的函数的有 ．

（1）设

，

，对应法则

；

（2）设

，

，对应法则

；

（3）设

，

对应法则

除以

所得的余数；

（4）

，对应法则

．

10. 下列各组函数中，表示同一个函数的有 ．

①

与

；

②

与

；

③

与

第4页（共15 页）

D.

D. ④

D.

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11. 下列各组函数中，表示同一函数的是 ．

12. 下列各对函数中，图象完全相同的是 ．

①

与

；

②

与

；

③

与

；

④

与

．

④

与

. ①

，

；

②

，

；

③

，

；

④

，

；

⑤

，

．

题型二 求函数的定义域

一、选择题

1. 函数

的定义域是 ( )

2. 函数

的定义域是 ( )

3.

A.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

的定义域是( ) B.

C.

D.

第5页（共15 页）

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4. 函数

5. 设全集为

，函数

的定义域为

，则

为( )

6. 函数

的定义域为( )

7. 函数

的定义域为( )

8. 函数

9. 已知函数

的定义域是一切实数，则

的取值范围是 ( )．

10. 已知函数

A.

的定义域为 ( )

的定义域为( )

B.

C.

D.

的定义域为

的定义域为

，则

B.

C.

D.

A.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

B.

C.

D.

A.

A.

B.

C.

D.

B.

C.

D.

二、填空题

11. 函数

的定义域为

，则实数

的取值范围是 ．

12. 若函数

的定义域为一切实数

，则实数

的取值范围为 ．

第6页（共15 页）

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13. 函数

的定义域是 ．

三、解答题

14. 求下列函数的定义域：

Ⅰ

Ⅱ

；

；

．

Ⅲ

15. 求下列函数的定义域，并用区间表示：

Ⅰ

Ⅱ

16. 已知函数

第7页（共15 页）

；

．

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Ⅰ

求函数的定义域；Ⅱ

求

，

的值．

17. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为

，

（单位：

）的矩形，上部是等腰直角三角形．要求框架围成的总面积为

，设用

表示

的表达式为

，试求

及其定义域．

第8页（共15 页）

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题型三 求函数值

一、选择题

1. 已知

，设

，

都是从

到

的函数，其对应法则如下表：

则

等于（ ）

A.

B.

C.

2. 若

，则

等于（ ）

A.

B.

C.

3. 设

，则

等于（ ）

A.

B.

C.

4. 已知

，则

A.

B.

C. 5. 若

，且

，则

等于 ( )

A.

B.

C.

6. 知函数

，且

，则

A.

B.

C.

7. 已知函数

则

（ ）

A. B. C.

第9页（共15 页）

D.

D.

D.

D. D.

D.

D.

集合与函数4 函数的概念

8. 某公司招聘员工，面试对象的人数

按拟录用人数

分段计算，计算公式为

其中

．若面试对象的人数为

，则该公司拟录用人数为

（ ）

A. B. C. D. 二、填空题

9. 已知函数

，

分别由下表给出：

则

的值为 ；满足

的

的值为 ．

10. 已知函数

，

，则函数

的值域为 ．

11. 已知函数

，若

，则实数

. 则

．

12. 已知函数

13. 已知函数

若

，则实数

．

则

（ ）．

14. 已知函数

三、解答题

15. 已知函数

，

Ⅰ

点

在

的图象上吗? 第10页（共15 页）

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Ⅱ

当

时，求

的值；

Ⅲ

当

时，求

的值．

16. 已知函数

Ⅰ

求函数的定义域；

Ⅱ

求

，

的值；

Ⅲ

当

时，求

，

的值．

第11页（共15 页）

．

集合与函数4 函数的概念

17. 设

，函数

Ⅰ

求

的值；

Ⅱ

证明：

．

18.

已知

，

，

，

，

，

，

是从定义域

到值域

的一个函数，求

，

的值．

第12页（共15 页）

，且

．

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题型一答案

1. D 2.D 3. C 4. C 5.A 6. B 7. D

8. C

9. （1）

（3）

10. ③ 11.⑤ 12. ②

题型二答案

1. D 2. A 3. D 4. B 5. B 6. D 7. B 8. D 9. D 10. D

11.

12.

13.

14. （1） 要使函数有意义，需

；解得

且

，所以函数 的定义域为

（2） 由

得

所以

且

，所以原函数的定义域为

0且

（3） 要使函数有意义，需

解得

且

，所以函数

的定义域为

．

15. （1） 要使函数有意义，自变量

的取值必须满足

解得

且

，即函数定义

域为

且

．

（2） 要使函数有意义，自变量

的取值必须满足

，

解得

，且

，

即函数定义域为

且

．

16. （1） 由题意得

解得

且

．

所以

的定义域是

且

．

第13页（共15 页）

集合与函数4 函数的概念

（2）

，

．

17. 由题意知

，即

．

所以得

，即

．考虑到

，

，所以

所以

所以

，即

的定义域为

．

题型三答案

1.

A 2. B 3. D 4. D 5. A 6. C 7. C 8. B 9.

；

10.

11. 12.

13.

14.

15. （1）

．所以点

）不在

的图象上．

（2） 当

时，

．

（3） 若

，则

，所以

，所以

．

16. （1） 使根式

有意义的实数

的集合是

；

使分式

有意义的实数

的集合是

；

所以这个函数的定义域是

且

．

（2）

（3） 因为

，所以

，

有意义，

，

．

17. （1）

，解得

．

第14页（共15 页）

集合与函数4 函数的概念

（2）

，所以

．

18. 由对应法则：

，

，

，

．由于

，故

，解得

或

（舍去），所以

．于是

，所以

．

第15页（共15 页）