阅读与思考 函数概念的发展历程课堂实录【2】

课例名称：《二元一次不等式（组）表示的平面区域》 【教学设计】

一、教材分析

1 ．教学目标 知识与技能：了解二元一次不等式的几何意义，会用二元一次不等式组表示平面区域；

过程与方法：经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程，提高数学建模的能力；

情态与价值：通过本节课的学习，体会数学来源与生活，提高数学学习兴趣。

2 ．教学重、难点 用二元一次不等式（组）表示平面区域；

二、教法、学法设计

1 ．教法设计 利用“猜想、验证、证明、应用”的探究式教学方法，让学生参与知识发生发展的过程。

2 ．学法设计 引导学生主动去发现问题解决问题。

三、教学过程设计

1 ．感知数学 从实际问题中抽象出二元一次不等式（组）的数学模型课本的“银行信贷资金分配问题”教师引导学生思考、探究，让学生经历建立线性规划模型的过程。在获得探究体验的基础上，通过交流形成共识：

建立二元一次不等式模型 把实际问题 转换 数学问题：

设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（把文字语言 转化 符号语言）

（资金总数为25 000 000元）xy25000000 （1）

（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）

(12%)x+(10%)y30000 即12x10y3000000 （2）

（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）x0,y0 （3）

将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件：

xy2500000012x10y3000000

x0,y0二元一次不等式和二元一次不等式组的定义

（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。

（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。

（3）二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的x和y的取值构成有序实数对（x,y），所有这样的有序实数对（x,y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集。

（4）二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系：

二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以看成是平面内点的坐标，进而，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合。

2 ．探究数学：二元一次不等式（组）的几何意义 （1）回忆、思考

回忆：初中一元一次不等式（组）的解集所表示的图形——数轴上的区间

思考：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？

（2）探究

从特殊到一般：

先研究具体的二元一次不等式x-y<6的解集所表示的图形。

如图：在平面直角坐标系内，x-y=6表示一条直线。平面内所有的点被直线分成三类：

第一类：在直线x-y=6上的点；

第二类：在直线x-y=6左上方的区域内的点；

第三类：在直线x-y=6右下方的区域内的点。

设点是直线x-y=6上的点，选取点，使它的坐标满足不等式x-y<6，请同学们完成课本第93页的表格，

横坐标x 点P的纵坐标y1

点A的纵坐标y2

并思考：

当点A与点P有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？

根据此说说，直线x-y=6左上方的坐标与不等式x-y<6有什么关系？

直线x-y=6右下方点的坐标呢？

学生思考、讨论、交流，达成共识：

在平面直角坐标系中，以二元一次不等式x-y<6的解为坐标的点都在直线x-y=6的左上方；反过来，直线x-y=6左上方的点的坐标都满足不等式x-y<6。

因此，在平面直角坐标系中，不等式x-y<6表示直线x-y=6左上方的平面区域；如图。

类似的：二元一次不等式x-y>6表示直线x-y=6右下方的区域；如图。

直线叫做这两个区域的边界

由特殊例子推广到一般情况。

3 ．建构数学 二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）

二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点）

4 ．应用数学 例1 画出不等式x4y4表示的平面区域。

-3

-2

-1

0

1

2

3

解：先画直线x4y4（画成虚线）. 取原点（0，0），代入x+4y-4,∵0+4×0-4=-4＜0, ∴原点在x4y4表示的平面区域内，不等式x4y4表示的区域如图：

归纳：画二元一次不等式表示的平面区域常采用“直线定界，特殊点定域”的方法。特殊地，当C0时，常把原点作为此特殊点。

变式1、画出不等式4x3y12所表示的平面区域。

变式2、画出不等式x1所表示的平面区域。

（给时间学生做，在这个过程中，老师到学生当中去发现问题解决问题。）

例2 用平面区域表示.不等式组y3x12的解集。

x2y分析：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

解：不等式y3x12表示直线y3x12右下方的区域，x2y表示直线x2y右上方的区域，取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集。

归纳：不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分。

0表示的平面区域。

变式1、画出不等式(x2y1)(xy4）变式2、由直线xy20，x2y10和2xy10围成的三角形区域（包括边界）用不等式可表示为 。

（给时间学生做，在这个过程中，老师到学生当中去发现问题解决问题。）

5 ．小结

（1）．二元一次不等式表示的平面区域．

（2）．二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法．

（3）．二元一次不等式组表示的平面区域．

6 ．课后练习与作业

1、课本练习1、2、3

2、课外辅导资料例题2、3 7 ．备课反思：

本节课意在通过课前的引例让学生感受数学，再由实际的问题里面抽象出数学问题，引导学生自主探索发现如何画一元二次不等式的图像，重在引导学生自己发现问题解决问题，让学生感受知识发生发展的过程，教师及时提出问题和做小结，及时地对发现的数学规律进行应用，以巩固对知识的理解。

但在这个过程中，由于学生参与的程度不高，一开始在探究的时候许多学生内能很主动的回答问题，没有较好思考问题（可能是比较害羞），探索的过程中讨论进行的不彻底，应该可以鼓励更多的学生参与进来的，在这点上讨论彻底点我想教学效果会更好。