阅读与思考 函数概念的发展历程教学评价实录

有关函数的基本概念

数学中的重要概念之一“函数”最早是德国数学家莱布尼茨在1692年发表的一篇论文中提出的，表示函数的记号f(x)是瑞士数学家欧拉于1734年引进的．在中国，函数一词最早出现在1859年李善兰和伟烈亚力合译的《代微积拾级》一书中．

最初，莱布尼茨只是把函数作为幂的同义词来使用，后来，他又用函数表示曲线上的点的横坐标、纵坐标、切线长等几何量．现在一般认为，函数作为幂的同义语是函数概念的解析起源．用函数表示几何量是这个概念的几何起源．

正如其他的数学概念一样，伴随着数学的发展，函数的定义也在不断地变化和改进．下面，我们分三个阶段介绍函数概念的演变．

第一阶段：1718年，瑞士著名的数学家族中的一员约翰?贝努利如下定义函数：“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量．”

约翰的学生、著名数学家欧拉于1748年在他的《无穷分析引论》一书中改进了上述定义，他说：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式．”在这里，欧拉把变数和常量以及由它们的加、减、乘、除、开方、指数、对数等算法联系起来所构成的式子，均称为函数．

欧拉还曾经把函数定义为“在xy平面上徒手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”．1775年，欧拉在他的《微分学原理》中又给出了一个定义：“如果某些量以如下方式依赖于另一些量，即当后者变化时，前者本身也发生变化，则称前一些量是后一些量的函数．”

总之，莱布尼茨、贝努利、欧拉等人把函数的意义拓广了．这时，人们对于函数的认识还普遍存在着下述观点：

1．由连续曲线表示的函数仍是一个连续函数，并且可以由解析表达式表示．

2．把是否可由唯一的表达式给出，作为判断“真”、“假”函数的标准．例如，不连续的曲线或折线不能由唯一的式子表达，因此它代表的函数不是一个函数，而是多个函数的集合．

3．在区间〔a，b〕内恒有相同函数值的两个函数，必定是完全相等的函数．

4．只有周期性曲线，才能用周期函数(如三角函数)表示．

第二阶段：1807年12月21日，在法国科学院举行的一次会议上，39岁的数学家傅里叶宣读了他的一篇关于热传导基础的论文．与会的数学家震惊了，因为这篇论文使上述人们头脑中的函数概念必须改写．

傅里叶宣布了这样一个惊人的事实：在有限闭区间上由任意图形定义的任意函数都可以用正弦和余弦函数之和表示．他还特别指出：任何定义在区间(－π，π)上的函数都能表示为等式所给出的函数：

的形式，例如，下列三个不

它的图像是一个不连续的直线和孤立的点(如下图)．

傅立叶证明了这个函数也可以用下列一个式子来表示，即：

可见，一个不连续的曲线可以由一个式子表示，也可以由几个式子来表示．因此，欧拉时代人们判别真假函数的标准完全失去了意义．

傅里叶得出的结果完全出乎当时数学家们的意料，而傅里叶的论文中也有不严密之处，因此，这篇论文送交法国科学院评审时被否定了．4年后，傅里叶将修改的论文再次呈交科学院，这次该论文获得了热传导问题研究的大奖．

傅里叶的工作把函数的研究范围扩展了，尽管这种扩展带来了更广泛意义下的函数连续性、可微性、可积性等一些新问题，而正是这些问题成为柯西寻求函数新定义的动因．

第三阶段：1821年，柯西在《分析教程》一书中给出了与我们现在中学课本中的函数定义非常相近的一个定义：“在某些变数间存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数之值，其它变数之值亦可随之而确定时，则将最初的变数称之为‘自变数’，其他各变数则称为函数．”

德国数学家狄利克雷和黎曼分别于1837年与1851年又给出了函数的一个新定义：“对于x的每一个值，y总有完全确定的值与之相对应，不管x、y之间的对应方式如何，均将y称为x的函数．”按照这个定义，即使像下面定义的f(x)，仍可说是函数：

f(x)在x为有理数时为1，在x为无理数时为0．这就是有名的狄里克雷函数．

至此，函数必须由表达式来表示的限制也没有了，因此，函数的范围又一次扩张了．

19世纪末，随着集合论的建立，函数概念中关于变量的条件进一步放宽，这时，变量的概念完全被集合的元素所取代．

函数概念的扩展是所有数学概念发展的一个典型例子：总是从不精确逐步精确起来．在函数的历史中，傅里叶的贡献尤其突出，他敢于冲破人们(包括大数学家们)对于函数的固有观念，由此加速了后人对于函数定义的新探讨．

函数图象的平移变换

函数图象变换的一种．

(1)设函数y＝f(x)在直角坐标平面上的图象是曲线C，若沿着纵轴方向，将C向上平行移动b(b＞0)个单位，则移动后所得的曲线C′就是函数y＝f(x)＋b的图象(图1)；若沿着纵轴的方向将C向下平行移动b(b＞0)个单位，则移动后所得的曲线C″就是函数

y＝f(x)－b的图象(图1)．

事实上，函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋b，y＝f(x)－b都具有相同的定义域，而对于定义域上每一个点x，函数y＝f(x)＋b的值总比y＝f(x)的值大b．函数y＝f(x)－b的值总比y＝f(x)的值小b．

(2)设函数y＝f(x)在直角坐标平面上的图象是曲线C，若沿着横轴方向，将C向左平行移动a(a＞0)个单位，则移动后所得到的曲线C′就是函数y＝f(x＋a)的图象(图2)；若沿着横轴方向，将C向右平行移动a(a＞0)个单位，则移动后所得到的曲线C″就是函数y＝f(x－a)的图象(图2)．

事实上，对于定义域上的任一点x=，函数y＝f(x)的值为f()．当x＝

－a时，函数y＝f(x＋a)的值恰好是f( )．由此可见，函数y＝f(x＋a)的定义域是函数y＝f(x)的定义域向左平移a个单位；当取x＝

＋a时，函数y＝f(x－a)的值也恰好是f()．也可见，函数y＝f(x－a)的定义域是函数y＝f(x)的定义域向右平行移动a个单位．

例如，将函数y＝

的图象C向右平移2个单位可得函数y=(x-2)2的图象C′，再将C′向上平移1个单位，就得到函数y＝(x－2)2＋1的图象C″(图3)．

极大值

设是函数f(x)定义域区间I内的一点，函数f(x)在点的一个邻域内有定义，若存在一个正'>达到最大(小)值，这个最大(小)值显然也是极大(小)值．但最大(小)值也可以在区间的端点a，b处达到，此时这个最大(小)值就不是极大(小)值；在特殊的情况下，若函数f(x)在部分子区间上为常数c，则此常数c也可能是函数的最大(小)值．因此求函数的最值时，应当把函数的极值，函数在端点的值f(a)、f(b)以及常数c进行比较，其中最大(小)者就是函数f(x)在区间〔a，b〕上的最大(小)值．

若函数f(x)在闭区间〔a，b〕上连续，并且在区间内只有一个极值点

，则函数在

点所取得的极大(小)值f(x)必定也是最大(小)值．这一结论对于开区间和无穷区间也同样适用．