阅读与思考 函数概念的发展历程名师教学设计1

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学案一

方程的根与函数的零点

学习目标

1. 结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系；

2. 掌握零点存在的判定定理.

学习过程

一、课前准备

（预习教材P86~ P88，找出疑惑之处）

复习1：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)的解法. 判别式=

. 当

0，方程有两根，为x1,2

；

当

0，方程有一根，为x0

；

当

0，方程无实根.

复习2：方程ax2+bx+c=0 (a0)的根与二次函数y=ax2+bx+c (a0)的图象之间有什么关系？

判别式

一元二次方程

二次函数图象

0

0

0

二、新课导学

※

学习探究

探究任务一：函数零点与方程的根的关系

问题：

①

方程x22x30的解为

，函数yx22x3的图象与x轴有

个交点，坐标为

. ②

方程x22x10的解为

，函数yx22x1的图象与x轴有

个交点，坐标为

. ③

方程x22x30的解为

，函数yx22x3的图象与x轴有

个交点，坐标为

.

根据以上结论，可以得到：

一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是相应二次函数yax2bxc0(a0)的图象与x轴交点的

.

你能将结论进一步推广到yf(x)吗？

新知：对于函数yf(x)，我们把使f(x)0的实数x叫做函数yf(x)的零点（zero point）. 反思：函数yf(x)的零点、方程f(x)0的实数根、函数yf(x)

的图象与x轴交点的横坐标，三者有什么关系？

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试试：

（1）函数yx24x4的零点为

；

（2）函数yx24x3的零点为

.

小结：方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与x轴有交点函数yf(x)有零点.

探究任务二：零点存在性定理

问题：

①

作出yx24x3的图象，求f(2),f(1),f(0)的值，观察f(2)和f(0)的符号

②

观察下面函数yf(x)的图象，

在区间[a,b]上

零点；f(a)f(b

)

0；

在区间[b,c]上

零点；f(b)f(c

)

0；

在区间[c,d]上

零点；f(c)f(d

)

0.

新知：如果函数yf(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)<0，那么，函数yf(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c(a,b)，使得f(c)0，这个c也就是方程f(x)0的根. 讨论：零点个数一定是一个吗？逆定理成立吗？试结合图形来分析. ※

典型例题

例1求函数f(x)lnx2x6的零点的个数.

变式：求函数f(x)lnxx2的零点所在区间.

小结：函数零点的求法. ①

代数法：求方程f(x)0的实数根；

②

几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数yf(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．

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※

动手试试

练1. 求下列函数的零点：

（1）yx25x4；

（2）y(x1)(x23x1).

练2. 求函数y2x3的零点所在的大致区间.

三、总结提升

※

学习小结

①零点概念；②零点、与x轴交点、方程的根的关系；③零点存在性定理

※

知识拓展

图象连续的函数的零点的性质：

（1）函数的图象是连续的，当它通过零点时（非偶次零点），函数值变号. 推论：函数在区间[a,b]上的图象是连续的，且f(a)f(b)0，那么函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点.

（2）相邻两个零点之间的函数值保持同号.

学习评价

※

当堂检测（时量：5分钟

满分：10分）计分：

1. 函数f(x)(x22)(x23x2)的零点个数为（

）.

A.

1

B. 2

C.

3

D. 4 2.若函数f(x)在a,b上连续,且有f(a)f(b)0,则函数f(x)在a,b上（

）. A. 一定没有零点

B. 至少有一个零点

C. 只有一个零点

D. 零点情况不确定

3. 函数f(x)ex14x4的零点所在区间为（

）. A. (1,0)

B. (0,1)

C. (1,2)

D. (2,3)

4. 函数yx2x20的零点为

. 5. 若函数f(x)为定义域是R的奇函数，且f(x)在(0,)上有一个零点．则

f(x)的零点个数为

.

课后作业

1. 求函数yx32x2x2的零点所在的大致区间，并画出它的大致图象.

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2. 已知函数f(x)2(m1)x24mx2m1. （1）m为何值时，函数的图象与x轴有两个零点；

（2）若函数至少有一个零点在原点右侧，求m值.

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