阅读与思考 函数概念的发展历程ppt课件课堂实录

第3讲

§1.2.3 函数的表示及映射

※知识要点

1．函数的三种表示法：

、

、

．

2．解析式的常见求法：

① ：适用于已知函数类型；

② 或 ：适用于复合函数；

③ ：适用于f(x)与f(1x)或f(－x)形成的表达式．

注意：求解析式时，一定要注意求解前后的 变化．

3．分段函数

定义：在函数的________内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的____________的函数叫做分段函数．

注意：分段函数是

个函数，它的定义域是各段取值区间的________，值域是各段值域的________．

4．映射的概念

定义：设A、B是两个

，按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的

一个元素x，在集合B中都有

确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的

．

注意：由映射的定义可以看出，函数是一种特殊的映射，主要体现在构成函数的两个集合A、B必须是

数集．

※题型讲练

【例1】分别求下列函数的解析式．

(1)已知一次函数f(x)满足f(f(x))＝4x＋6，求f(x)；

,

(2)已知f(x)满足f(x＋1)＝x2＋2x，求f(x)；

(3)已知f(x)满足2f(x)＋f(1x)＝3x，求f(x)；

变式训练1：

1．已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，则f(x)＝________.

2．已知f(x)满足f(x＋1)＝x＋2x，则f (x)＝________.

3．已知函数f(x)满足f (x)＋2f (－x)＝1x，求f (x)．

x＋1，x≤－2，【例2】已知函数f (x)＝x2－2x，－2

(1)求f (－5)，f (－3)，f (f (f (－52)))的值；

(2)若f (a)＝3，求实数a的值；

(3)作出f (x)的图象，并求值域．

变式训练2：

1．已知f(x)＝3x＋2，x<1，x2＋ax，x≥1，

若f(f(0))＝4a，则a＝_____．

2．分别作出下列函数的图像，并写出定义域及值域．

(1) f(x)＝x2＋1，x≤1，2

(2)f(x)=x，x>1.x|x－2|

【例3】下列对应关系：

①A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f：x→x；

②A＝R，B＝R，f：x→1x；

③A＝R，B＝R，f：x→x2－2；

④A＝{－1,0,1}，B＝{－1,0,1}，f：A中的数平方．

其中是A到B的映射的是_____．

变式训练3：

1．若集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，则下列对应法则中不能从P到Q建立映射的是(

)

A．y＝23x

B．y＝18x

C．y＝113x

D．y＝2x

2．设f：x→ax－1为从集合A到B的映射，若f(2)＝3，则f(3)＝________.

【

2

x－4，0≤x≤2，8．函数f (x)＝的定义域是

，※课堂反馈

2x，x>2.21．已知f(x－1)＝x＋4x－5，则f(x)的表达式是(

) 若f (x0)＝8，则x0的值为________．

A．f(x)＝x2＋6x

B．f(x)＝x2＋8x＋7 9．以下四个对应：

C．f(x)＝x2＋2x－3

D．f(x)＝x2＋6x－10 ①A＝N＋，B＝N＋，f ：x→|x－3|；

x＋2，x≥02．设f(x)＝则f(f(－1))＝(

)

Z

，

B

＝

Q，f ：x→2；

②A＝

1，x<0，A．3

B．1

C．0

D．－1 3．已知函数f (x)是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，则f (x)＝________. 4．已知f(x)满足2f(x)－f(－x)＝3x＋1，则f(x)=

．

5．下图给出的四个对应中是从A到B的映射的是________．

6．已知函数f (x)＝x，x>0，x2－1，x<0，

(1)作出f (x)简图；

(2)根据图像指出f (x)的定义域和值域．

※基础夯实

1．已知函数y＝f(x)的对应关系如下表，

函数y＝g(x)的图象是如右图的曲线ABC，

其中A(1,3)，B(2，1)，C(3,2)，则f(g(2)) 的值为(

) x 1

2

3 f(x)

2

3

0 A．3

B．2

C．1

D．0 2．已知f(x－1)＝3x－5，则f(x)的解析式为(

) A．f(x)＝3x＋2

B．f(x)＝3x－2 C．f(x)＝2x＋3

D．f(x)＝2x－3 3．已知f(x)＝x－5，x≥6fx＋2，x<6，

则f(3)＝(

) A．2

B．3

C．4

D．5 4．下列图形是函数y＝x2，x<0x－1，x≥0

的图象的是(

) 5．已知A＝B＝{(x，y)|x，y∈R}，且f：(x，y)→(x－y

，x＋y)，则与B中的元素(－1,1)对应的A中的元素为(

) A．(0,1)

B．(1,3)

C．(－1,－3)

D．(－2,0) 6．已知f (x)满足f (x)＝2f (1x)＋x，则f (x)的解析式为________.

7．已知f (x)为一次函数，且f (f (x))＝4x－1，则f (x)＝________. x③A＝N＋，B＝R，f ：x→x的平方根；

④A＝N，B＝{－1,1,2，－2}，f ：x→(－1)x. 其中能构成从A到B映射的为________．(填序号) 10．已知f(x)＝ax2＋bx＋c，若f(0)＝0且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，

(1)求f(x)的表达式；

(2)若x∈[－1，2)，求f(x)的值域.

※能力提升

1．已知函数f(x)满足f(ab)＝f(a)＋f(b)，且f(2)＝p，f(3)＝q，那么f(12)＝(

) A．p＋q

B．2p＋q

C．p＋2q

D．p2＋q

2．已知f(x)＝2x＋3，g(x)＝4x－5，则使得f(h(x))＝g(x)成立的h(x)＝________．

3．已知f(x＋11x)＝x2＋x2，则f(x)的解析式为 ．

4．已知f(x)＝x2＋1x≤0－2xx>0，

若f(a)=5，则a的值为_______．

5．若定义运算：a⊙b＝b，a≥ba，a

则函数f(x)＝x⊙(2－x2)的值域为________．

6．如图，f(x)的图象是由一条线段及抛物线的一部分组成．

(1)根据图像，写出f(x)的定义域和值域；

(2)根据图像，求f (f (f (2))；

(3)求f(x)的解析式．