阅读与思考 函数概念的发展历程教学设计(第二课时)

第七届教师技能大赛教案

函

数

的

概

念

数学组：王娟

1.2 函数及其表示

1.2.1 函数的概念

教学分析

函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学***致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高. 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念. 三维目标

1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识. 2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性. 重点难点

教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值. 课时安排

2课时

教学过程

第1课时 函数的概念

【导入新课】

1.

情景设置：应用生活中买菜的实例，使得学生立马对课堂产生极大的兴趣，并感受到了学习函数模型的重要性。

2.问题：我们学过哪些函数？你能否例举出一些具体的函数和生活中的函数实例？它们为什么会称之为函数？

3.复习回顾：（初中对函数的定义）在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与之对应，此时y是x的函数，x是自变量，y是因变量。

【新知探究】

(1)给出下列三种对应:(幻灯片) ①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度2为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t. ②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了62南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:10

km)随时间t(单位:年)从1991~2001年的变化情况. 1

图1-2-1-1 ③国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低,恩格尔系数越低,生活质量越高.下表中的恩格尔系数y随时间t(年)变化的情况表明,“八五”计划以来,我国城镇居民的生活质量发生了显著变化. “八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间

1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 恩格尔系数y 53.8 52.9 50.1 49.9 49.9 48.6 46.4 44.5 41.9 39.2 37.9 思考：以上三个实例存在哪些变量？变量的变化范围分别是什么？两个变量之间存在着这样的对应关系？

如何用集合的语言来描述这种对应关系？

小组讨论：以上三个对应有什么共同特点？能否从集合的观点来描述函数的概念？

（让学生认真思考三个对应,也可以分组讨论交流,引导学生找出这三个对应的本质共性.）

归纳总结：(1)共同特点是:集合A、B都是数集,并且对于数集A中的每一个元素x,在对应关系f:A→B下,在数集B中都有唯一确定的元素y与之对应. 【新课讲解】

一．函数的概念：一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域. 理解概念：

（1）函数不等同于解析式。函数的对应关系不仅仅可以是明确的解析式，也可以是形象直观的曲线或表格。

（2）f(x)的内涵：对于定义域中的任意x，在对应关系f的作用下可以得到y，即：y是x的函数。它是一个变量。

（3）f(a)表示当自变量x=a时的函数值，是一个常量。

例1：已知函数f(x)=x3+(1)求函数的定义域; (2)求f(-3),f(1, x22)的值; 3(3)当a>0时,求f(a),f(a-1)的值. 活动：

(1)让学生回想函数的定义域指的是什么？函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围,故转化为求使x3和1有意义的自变量的取值范围;x3有意义,则x+3≥0,

x2 2

1有意义,则x+2≠0,转化解由x+3≥0和x+2≠0组成的不等式组. x222(2)让学生回想f(-3),f()表示什么含义？f(-3)表示自变量x=-3时对应的函数值,f()33222表示自变量x=时对应的函数值.分别将-3,代入函数的对应法则中得f(-3),f()的333值. (3)f(a)表示自变量x=a时对应的函数值,f(a-1)表示自变量x=a-1时对应的函数值. 分别将a,a-1代入函数的对应法则中得f(a),f(a-1)的值. 解：(1)要使函数有意义,自变量x的取值需满足即函数的定义域是［-3,-2)∪(-2,+∞).

(2)f(-3)=-33+x30,解得-3≤x<-2或x>-2, x20.1=-1; 32f(2133323)==. 2382323(3)∵a>0,∴a∈［-3,-2)∪(-2,+∞),

即f(a),f(a-1)有意义. 1; a211f(a-1)=a-13=a2. a12a1则f(a)=a3+点评：本题主要考查函数的定义域以及对符号f(x)的理解.求使函数有意义的自变量的取值范围,通常转化为解不等式组. f(x)是表示关于变量x的函数,又可以表示自变量x对应的函数值,是一个整体符号,分开符2号f(x)没有什么意义.符号f可以看作是对“x”施加的某种法则或运算.例如f(x)=x-x+5,当x=2时,看作“2”施加了这样的运算法则:先平方,再减去2,再加上5;当x为某一代数式(或某一个函数记号时),则左右两边的所有x都用同一个代数式(或某一个函数)来代替.22如:f(2x+1)=(2x+1)-(2x+1)+5,f［g(x)］=［g(x)］-g(x)+5等等. 符号y=f(x)表示变量y是变量x的函数,它仅仅是函数符号,并不表示y等于f与x的乘积;符号f(x)与f(m)既有区别又有联系,当m是变量时,函数f(x)与函数f(m)是同一个函数;当m是常数时,f(m)表示自变量x=m对应的函数值,是一个常量. 【思考与讨论】

1.

如何判断一个对应关系是否是函数关系？

2.

在从集合A到集合B的一个函数f：A→B中，集合A与集合B是分别函数的定义域和值域吗？

3.

一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？

【典型例题】

例2：(1)y1与x=1是函数吗？(2)y2x是函数吗？(3)y=x21x是函数吗？

3

例3：如图中，哪些是以x为自变量的函数的图象，为什么？

例4：下列函数哪个与函数y=x是同一个函数？为什么？

((2)y3x31)y(x)2

x22(4)y(3

)yxx

【课堂小结】

一个概念，二种语言，三个要素。

四项注意：

1、已知函数均指由定义域到值域的函数；

2、函数问题首先看定义域；

3、f(x)含对x的一种操作规定；

4、根据需要，常常要用整体看问题。本节课学习了:函数的概念、函数定义域的求法和对函数符号f(x)的理解. 【课后作业】学案2 设计感想

本节教学中,在归纳函数的概念时,本节设计运用了大量的实例,如果不借助于信息技术,那么会把时间浪费在实例的书写上,会造成课时不足即拖堂现象.本节重点设计了函数定义域的求法,而函数值域的求法将放在函数的表示法中学习.由于函数是高中数学的重点内容之一,也是高考的重点和热点,因此对函数的概念等知识进行了适当的拓展,以满足高考的需要.

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