阅读与思考 函数概念的发展历程第一课时导学案

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课时跟踪检测（六）

函数的奇偶性及周期性

(一)普通高中适用作业

A级——基础小题练熟练快

1．(2017·肇庆三模)在函数y＝xcos x，y＝ex＋x2，y＝lgx2－2，y＝xsin x中，偶函数的个数是(

) A．3

C．1

B．2 D．0 解析：选B

y＝xcos x是奇函数，y＝lgx2－2和y＝xsin x是偶函数，y＝ex＋x2是非奇非偶函数，所以偶函数的个数是2，故选B. 2．(2018·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是(

) A．y＝ex＋ex

－B．y＝ln(|x|＋1) 1D．y＝x－

xC．y＝sin x

|x|解析：选D

选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在(0，＋∞)上不11是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在(0，＋xx1∞)上均为增函数，故y＝x－x在(0，＋∞)上为增函数，所以选项D正确．

3．(2018·辽宁阶段测试)设函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，则(

) A．m＝1，且f(x)在(0,1)上是增函数

B．m＝1，且f(x)在(0,1)上是减函数

C．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是增函数

D．m＝－1，且f(x)在(0,1)上是减函数

11解析：选B

因为函数f(x)＝ln(1＋x)＋mln(1－x)是偶函数，所以f2＝f－2，则(m－1)ln 3＝0，即m＝1，则f(x)＝ln(1＋x)＋ln(1－x)＝ln(1－x2)，因为x∈(0,1)时，y＝1－x2是减函数，故f(x)在(0,1)上是减函数，故选B. 4．已知函数f(x)＝x3＋sin x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(

) A．3

C．－1

B．0 D．－2 解析：选B

设F(x)＝f(x)－1＝x3＋sin x，显然F(x)为奇函数，又F(a)＝f(a)－1＝1，所以F(－a)＝f(－a)－1＝－1，从而f(－a)＝0. log21－x，x＜0，5．设函数f(x)＝若f(x)是奇函数，则g(3)的值是(

) gx＋1，x＞0，

A．1

B．3

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C．－3

D．－1 log21－x，x＜0，解析：选C

∵函数f(x)＝f(x)是奇函数，∴f(－3)＝－f(3)，∴log2(1gx＋1，x＞0，

＋3)＝－[g(3)＋1]，则g(3)＝－3.故选C. 26．设f(x)＝ln1－x＋a是奇函数，则使f(x)＜0的x的取值范围是(

) A．(－1,0)

C．(－∞，0)

解析：选A

因为f(x)为奇函数，

所以f(0)＝ln(2＋a)＝0，即a＝－1. 2x＋1所以f(x)＝ln1－x－1＝ln，

1－xx＋1所以f(x)＝ln＜0，

1－xx＋1即0＜＜1，解得－1＜x＜0. 1－xB．(0,1) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) 7．(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝________. 解析：由已知得，f(－2)＝2×(－2)3＋(－2)2＝－12，

又函数f(x)是奇函数，所以f(2)＝－f(－2)＝12. 答案：12 8．(2018·贵州适应性考试)若函数f(x)＝(x－a)(x＋3)为偶函数，则f(2)＝________. 解析：法一：因为f(x)＝f(－x)，所以x2＋(3－a)x－3a＝x2－(3－a)x－3a，可得a＝3，所以f(x)＝x2－9，f(2)＝22－9＝－5. 法二：由f(x)＝x2＋(3－a)x－3a为偶函数，知其奇次项的系数为0，所以3－a＝0，a＝3，所以f(2)＝22－9＝－5. 答案：－5 9．下列函数

①f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]；

2－x②f(x)＝ln；

2＋xx＋2，x>0，③f(x)＝0，x＝0，

－x2－2，x<0.其中是奇函数的为________．(填序号) 2

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解析：①由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此f(x)是非奇非偶函数．

②f(x)的定义域为(－2,2)，

2＋x2－xf(－x)＝ln＝－ln＝－f(x)，

2－x2＋x所以函数f(x)为奇函数．

③f(x)的定义域为R，关于原点对称，

当x>0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x<0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．

所以函数f(x)为奇函数．

答案：②③

10．设定义在R上的函数f(x)同时满足以下条件：①f(x)＋f(－x)＝0；②f(x)＝f(x＋2)；13＋f(2)＋f5＝________. ③当0≤x<1时，f(x)＝2x－1，则f＋f(1)＋f222解析：依题意知：函数f(x)为奇函数且周期为2，

则f(1)＋f(－1)＝0，f(－1)＝f(1)，即f(1)＝0. 13＋f(2)＋f5

∴f＋f(1)＋f2221－1＋f(0)＋f1

＝f＋0＋f222111

＝f－f＋f(0)＋f2221＝f2＋f(0) 1＝2－1＋20－1 2＝2－1. 答案：2－1 B级——中档题目练通抓牢

23π1．设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sin x．当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f6＝(

) 1A.

2C．0

B.3

21D．－

2解析：选A

∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sin x－sin x＝f(x)，∴f(x)的周期T5π－π＋π＝f－π＋sin－π＝0，－π＝2π，又∵当0≤x＜π时，f(x)＝0，∴f＝0，∴f∴f66666

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23πππ114π－＝f－＝. ＝，∴f＝f662622．已知函数f(x)是奇函数，在(0，＋∞)上是减函数，且在区间[a，b](a

) A．有最大值4

C．有最大值－3

B．有最小值－4 D．有最小值－3 解析：选B

法一：根据题意作出y＝f(x)的简图，由图知，选B. 法二：当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，

由题意得f(b)≤f(－x)≤f(a)，即－3≤－f(x)≤4，

∴－4≤f(x)≤3，即在区间[－b，－a]上，f(x)min＝－4，f(x)max＝3. 3．对函数f(x)，在使f(x)≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f(x)的下确界．现已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(1－x)＝f(1＋x)，当x∈[0,1]时，f(x)＝－3x2＋2，则f(x)的下确界为(

) A．2

C．0

B．1 D．－1 解析：选D

由题意知，f(x)的周期为2，画出函数f(x)在R上的部分图象如图所示，易得下确界为－1.故选D.

1x4．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f(x)－g(x)＝2，则f(1)，g(0)，g(－1)之间的大小关系是______________．

1xx解析：在f(x)－g(x)＝中，用－x替换x，得f(－x)－g(－x)＝2，由于f(x)，g(x)分2别是定义在R上的奇函数和偶函数，所以f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，因此得－f(x)－g(x)2x－2x2x＋2x35＝2.于是解得f(x)＝，g(x)＝－，于是f(1)＝－，g(0)＝－1，g(－1)＝－，2244－－x故f(1)>g(0)>g(－1)．

答案：f(1)>g(0)>g(－1) 5.已知偶函数y＝f(x)，奇函数y＝g(x)的定义域均为[－4,4]，f(x)fx在[－4,0]上，g(x)在[0,4]上的图象如图所示，则不等式<0的解集为gx________．

解析：

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因为函数y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域均为[－4,4]，结合奇函数和偶函数图象的性质可得两个函数在定义域上完整的图象如图所示．由图可得，当x∈(－2,0)∪(2,4)时，f(x)与g(x)异号，此时f(x)·g(x)<0，即答案：(－2,0)∪(2,4) 33＋x＝－f－x成立．

6．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x有f22(1)证明y＝f(x)是周期函数，并指出其周期；

(2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值．

33＋x＝－f－x，

解：(1)证明：由f223333＋x＝－f－2＋x＝－f(－x)＝f(x)，

且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＋222所以y＝f(x)是周期函数，且T＝3是其一个周期．

(2)因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0，

且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一个周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. －x＋2x，x>0，7．已知函数f(x)＝0，x＝0，x2＋mx，x<0(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x<0，则－x>0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x. 又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x<0时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

a－2>－1，结合f(x)的图象(如图所示)知所以1＜a≤3，

a－2≤1，2fx<0. gx

是奇函数．

故实数a的取值范围是(1,3]．

C级——重难题目自主选做

2|x|1＋x3＋21．(2018·许昌二模)已知函数f(x)＝的最大值为M，最小值为m，则M＋m2|x|＋1＋

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等于(

) A．0

C．4

B．2 D．8 2·2|x|＋1＋x3x3解析：选C

f(x)＝＝2＋|x|，

2|x|＋12＋1x3设g(x)＝|x|，则g(－x)＝－g(x)(x∈R)，

2＋1∴g(x)为奇函数，∴g(x)max＋g(x)min＝0. ∵M＝f(x)max＝2＋g(x)max，m＝f(x)min＝2＋g(x)min，

∴M＋m＝2＋g(x)max＋2＋g(x)min＝4，故选C. 12．设函数f(x)＝ln(1＋|x|)－，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围为________．

1＋x2解析：由已知得函数f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(|x|)，

由f(x)>f(2x－1)，可得f(|x|)>f(|2x－1|)．

当x>0时，f(x)＝ln(1＋x)－11在(0，＋∞)上都单调2，因为y＝ln(1＋x)与y＝－1＋x1＋x2递增，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

由f(|x|)>f(|2x－1|)，可得|x|>|2x－1|，

1两边平方可得x2>(2x－1)2，整理得3x2－4x＋1<0，解得