阅读与思考 函数概念的发展历程课堂实录

立体几何专项训练（角、平行、垂直）

1、正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与B1D所成的角为（

）

A．D1

A1

B1

C1



B．

C．

D．

6432D2、如图1，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、

G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角

A的余弦值是 （ ）

D1 A1

A．15 B．0 C．10 D．1

C

B

B1 C1 G C 553、正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是BC的中点，则A1C与DE所成

的角的余弦值为 （ ）

A．E D A F 图1 B 30151010

B．

C．

D．

15151064、正方体AC1中截面ABC1和截面A1B1C所成的二面角的大小为

（

）

A．45

B．60

C．arccos0066

D．arccos

235、甲烷分子结构是：中心一个碳原子，外围四个氢原子构成四面体，中心碳原子与四个氢原子等距离，且连成四线段，两两所成角为θ，则cosθ值为 （ ）

A．1111 B． C． D．

33226、直线a与平面所成的角为30o，直线b在平面内，若直线a与b所成的角为，则

( ) A.030

B.090

C.3090

D.30180

7、已知三个平面OAB、OBC、OAC相交于点O，且AOBBOCAOC

OCAOC60，则交线OA与平面OBC所成的角的余弦值是

（

）

A．3262

B．

C．

D．

332

38、有共同底边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为

（

）

1132A．

B．

C．

D．3442

9、已知一个几何体的三视图如图所示。（1）求此几何体的表面积；（2）如果点P,Q在正视图中所示位置：P为所在线段中点，Q为顶点，求在几何体表面上，从P点到Q点的

1

最短路径的长。

10、如图，在三棱锥PABC中，E,F分别为AC,BC

的中点。（1）求证：EF//平面PAB；

（2）若平面PAC平面ABC，且PAPC，

ABC90，求证：平面PEF平面PBC。

aP正视图a2a侧视图2aQra俯视图PAECFBACBC，点D是AB的中点. 11、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，求证：（1）ACBC1；（2）AC1//平面B1CD.

12、如图，在四棱锥PABCD中，ABCD是正方形，A1 CB1 C

A

P E D

B

PD平面ABCD，PDAB2，

E,F,G分别是PC,PD,BC的中点．

（1）求证：平面PAB//平面EFG；

（2）在线段PB上确定一点Q，使PC平面ADQ，并

给出证明；（3）证明平面EFG平面PAD

2 F D C G A B

13、如图（1），边长为2的正方形ABEF中，D,C分别为EF,AF上的点，且EDCF，现沿DC把CDF剪切、拼接成如图（2）的图形，再将BEC,CDF,ABD沿（1）求证：BACD；（2）求四面体BC,CD,BD折起，使E,F,A三点重合于点A。BACD体积的最大值。

B

BB

A

A

EAEDCC

D(C)(D)D图（）1CF图（2）F

图（3）

A14、如图，在三棱柱ABC—A1B1C1中，CB=3，AB=4，1C1AC=5,∠A1AB=60°, 且A1在面ABC上的射影E是AB的中点. 求直线A1C与平面BCC1B1所成角的正切值；

AE B

C

15、

如图1所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PB1PC=AB=10，AC=8，PB=234.F是线段PB上一点，FEA如图CF1534，点E在线段AB上，且EF⊥PB. 17BC（Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF；

（Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.

3

π，斜边6AB4．Rt△AOC可以通过Rt△AOB以直线AO为轴旋转得到，且二面角BAOC是直二面角．动点D在斜边AB上．

（1）求证：平面COD平面AOB；

（2）当D为AB的中点时，求异面直线AO与CD所成角的16、如图，在Rt△AOB中，OABAD大小；

（3）求CD与平面AOB所成角的最大值．

O

C

17、如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动. （1）证明：D1E⊥A1D; （2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；

D

B（3）当AE等于何值时，二面角D1—EC－D的大小为. 4A1

18、已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，1C1

B1

DC

E

A

B

1DAB90,PA底面ABCD，PA=AD=DC=AB=1，2M是PB的中

（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；

（Ⅱ）求AC与PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小

PMADCB

4

高二数学自助餐（12）（角、平行、垂直）答案

D C A D

A C B B 9、（1）由三视图知：此几何体是一个圆锥加一个圆柱，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面积之和。

S圆锥侧12a22a2a2，S圆柱侧2a2a4a2，

S圆柱底a2，所以S表面2a24a2a225a2。

BPAC（2）沿P点与Q点所在母线剪开圆柱侧面，如图。

则，PQAP2AQ2a2aa12

2Q所以从P点到Q点在侧面上的最短路径的长为a12。

10、证明：（1）PE,F分别是AC,BC的中点，EF//AB。

5

AECFB

又EF平面PAB，AB平面PAB，EF//平面PAB. （2）在三角形PAC中，PAPC，E为AC中点，

PEAC。

平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，

PE平面ABC。PEBC。

又EF//AB,ABC90，EFBC，又EFPEE，

BC平面PEF。平面PEF平面PBC。

11、

证明：（1）在直三棱柱ABCA

CC1平面ABC，1B1C1中，所以，CC1AC，又ACBC，BCA1 C1 B1 CC1C，

C

A

O

所以，AC平面BCC1B1，所以，ACBC1. （2）设BC1与B1C的交点为O，连结OD，

所以O为B1C中点，又D是AB的中点，BCC1B1为平行四边形，所以OD是三角形ABC1的中位线，OD//AC1， B

D

又因为AC1平面B1CD，OD平面B1CD，所以AC1//平面B1CD. 12 、（1）E,F分别是线段PC,PD的中点，所以EF//CD，又ABCD为正方形，AB//CD，所以EF//AB，又EF平面PAB，所以EF//平面PAB. 因为E,G分别是线段PC,BC的中点，所以EG//PB，

又EG平面PAB，所以，EG//平面PAB. 所以平面EFG//平面PAB. （2）Q为线段PB中点时，PC平面ADQ. 取PB中点Q，连接DE,EQ,AQ，

由于EQ//BC//AD，所以ADEQ为平面四边形，

由PD平面ABCD，得ADPD，

又ADCD，PD所以ADPC，

A H P E Q C G B F O D CDD，所以AD平面PDC，

又三角形PDC为等腰直角三角形，E为斜边中点，所以DEPC，

ADDED，所以PC平面ADQ. PDD，所以CD平面PAD，

6 （3）因为CDAD，CDPD，AD

又EF//CD，所以EF平面PAD，所以平面EFG平面PAD. 13、（1）证明：折叠前，BEEC,BAAD，

折叠后BAAC,BAAD

又ACADA，所以BA平面ACD，

因此BACD。

（2）解：设ACx0x2，则AD2x。

BACD图（3）1x2x，

ACD2111VBACDBASACD2x2x33212x11

3因此SA1C1ODBB11所以当x1时，四面体BACD体积的最大值为。

314、（Ⅰ）因为A1在面ABC上的射影E是AB的中点, BC⊥A1E,又∵CB=3，AB=4，AC=5,所以AB⊥BC，∴BC⊥平面A1ABB1，……1分

E A∵BC平面BCC1B1，∴平面BCC1B1⊥平面A1ABB1.………2分

过A1作A1D⊥B1B于D，连接DC，∵平面BCC1B1⊥C平面A1ABB1

∴A1D⊥平面BCC1B1，故∠A1CD为直线A1C与平面BCC1B1所成的角.……3分

在矩形BCC1B1中，DC=13，

又∠A1AB=60°，CB=3，AB=4，∴A1D23，tanA1CDA1D23239….4分

CD131315、（Ⅰ）可证EF⊥PB且CFPB，故PB⊥平面CEF （Ⅱ）可证CE⊥平面PAB，可得FEB

为二面角B—CE—F的平面角，而FEB=5PBA，故FEB=arctan

2316、（1）略；（2）arctan1523；（3）arctan33

17、（1）∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊥AD1，∴D1E⊥A1D．

（2）设点E到面ACD1的距离为h，在△ACD1中，AC=CD1=5，AD1=2，

故SAD1C3111131,而SACE.VD1AECSAECDD1SAD1Ch,1h,h.

22332237

（3）过D作DH⊥CE于H，连D1H、DE，则D1H⊥CE，∴∠DHD1为二面角D1—EC—D的平面角.设AE=x，则BE=2－x，

在RtD1DH中,DHD14,DH1.在RtADE中,DE1x2,在RtDHE中,EHx,

在RtDHC中CH3,在RtCBE中CEx24x5.x3x24x5x23.AE23时,二面角D1ECD的大小为.418、

19、(1)在原图中:

2EF//BC//AD，AEEF，折起后：由AEBE

及已知AEEF,BEDABABC.ABBC,ABAD.∵AEDF，∴EBFCEFE

所以AE平面BEFC,AE平面AEFD,平面AEFD平面BEFC. （2）arccos14. 1420、解：（1）圆C的方程为x2y216。（2）设点P的坐标为8,b,bR，

以OP为直径的圆方程可化为：x2y28xby0,bR

AB为两圆的公共弦，直线AB的方程为8xby16,bR

所以直线AB恒过定点2,0。

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