阅读与思考 函数概念的发展历程板书设计及意图

函数的发展

一、教学目标

1.

知识与技能：

（1）进一步体会函数是描述变量之间依赖关系的重要数学模型；

（2）会用集合与对应的思想去认识理解函数；

（3）理解函数的三要素及函数符号的深刻含义，会求一些简单函数的定义域；

（4）了解区间的概念,体会用区间表示数集的作用；

（5）会求简单抽象函数的定义域，会求一些简单函数的值域。

2、过程与方法：

（1）在对具体实例的分析与比较中培养学生观察、类比、推理、判断的能力；

（2）在对函数概念的提炼中培养学生抽象、归纳、概括的逻辑思维能力；

（3）在对函数概念的讲解中强化“形”与“数”结合并相互转化的数学思想。

3、情感、态度与价值观：

（1）渗透数学历史和文化，激发学生观察、分析、探求的兴趣与热情；

（2）强化学生的参与意识，体会在探究过程中从特殊到一般，从具体到抽象，相互联系，相互制约，相互转化的

辩证唯物主义观点；

（3）感受数学的简洁美、对称美、数与形的和谐统一美，树立“数学源于实践，又服务于实践”的数学应用意识。

二、教学重难点

教学重点：理解函数的模型化思想，用集合与对应的语言来刻画函数

教学难点：抽象符号yfx的理解，尤其是对f的意义的理解

三、教学流程设计

分析实例1、2、3 函数概念 练习1、2 利用已学函数定义解释已学函数

感性认识 理性认识 应用

四、教学过程

〈一〉实例引入

复习提问：

（1）初中学过的函数的概念；

（2）初中学过哪些函数？

1、[引例1]（题略）提出以下问题：

（1）你能指出变量t和h的取值范围吗？分别用集合A和集合B表示出来？

（2）对于集合A中的任何一个时间t,按照对应关系,在集合B中是否都有唯一确定的高度h和它对应？

2、[引例2]问题与1同。

3、[引例3] 问题与1同。 归纳三个例子，它们有什么共同特点？

〈二〉新知探索

1、导出函数定义

分析归纳以上三个实例，它们有什么共同特点？教师引导：

（1）都有两个非空数集

（2）两个数集之间都有一定的对应关系。

三个实例中变量之间的关系都可以描述为：对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有一个唯一确定的y和它对应，记作f: A

B。

师生共同概括出函数定义并指出函数的三要素。

函数定义：一般地，我们有：设A，B是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f，

使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都在唯一确定的数f(x)和它对应，

那么就称对应f:A

B为从集合A到集合B的一个函数。

记作：y=f(x），xA，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。显然值域是集合B的子集。

注意：（1）A、B是非空数集；

（2）对于x的每一个值，按照某个确定的对应关系f，都有唯一的y值与它对应。

（3）对f(x)的理解：

①它是一种符号，表示y是x的函数；

②内涵是对于定义域中的任意x，在对应关系f作用下即可得到y；

③f可以是解析式、图象、表格等；

（4）函数三要素：定义域、值域、对应法则；

（5）描述性定义与集合、对应语言刻画的定义的比较：

①本质相同：定义域、值域意义完全相同，对应关系本质上也是一样。

②叙述的出发点不同：初中定义是从运动变化的观点出发，高中定义是从集合、对应的观点出发。

2、巩固练习

①下列图象中不能作为函数图象的是（ ）

(A)(B) (C) (D) ②下列对应中为函数的是（ ）其中函数的定义域、值域分别是什么？

-1 -2 -3 -2 -4 1 2 3 4 0 3 5 1

4 3

5 0

1 2 O

3 5

(A) (B) (C) （D）

初中学过哪些函数？它们的定义域、值域（强调二次函数的值域）、对应法则分别是什么？根据练习题强调函数定义中的关键词：定义域内任意一个数，唯一确定，对应。

3、区间的概念

区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

定义

{

x|axb}{

x|axb}{

x|axb}{

x|axb}名称

闭区间

开区间

半开半闭区间

符号

数轴表示

[

a,b](a,b)

ab

a,b)[

ab

{x|xa}

{x|xa}

{x|xb}{x|xb}

指出说明：

（1）区间是集合；（2）区间的左端点必小于右端点；（3）无穷大是一个符号，不是一个数；

（4）以“-∞”或“+∞”为区间的一端时，这一端必须是小括号。

<三>应用举例

例1．已知函数f(x)x31，

x2（1）求函数f(x)的定义域；（2）求f(3),f()的值；（3）当a0时，求f(a),f(a1)的值。

让学生思考，并提问个别学生。

师问：函数的定义域是什么？

答：函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围.

23追问：f(x)与f(a)有何区别与联系？

点拨：f(a)表示当自变量xa时函数f(x)的值，是一个常量，而f(x)是自变量x的函数，它是一个变量，f(a)是f(x)的一个特殊值。