阅读与思考 函数概念的发展历程优质课一等奖

学校：临清实验高中

学科：数学

编写人：赵福征

审稿人：国辉

王桂强

§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）

第一课时

单调性

【教学目标】

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．

【教学重点难点】

重点：函数的单调性及其几何意义．

难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性

【教学过程】

（一）创设情景，揭示课题

1．

观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y y y

1 1 1 -1 -1 1 x -1 -1 1 x -1 -1 1 x

1

随x的增大，y的值有什么变化？

○2

能否看出函数的最大、最小值？

○3

函数图象是否具有某种对称性？

○2．

画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（1）f(x) = x 1

从左至右图象上升还是下降

______?

○2

在区间

____________ 上，随着x的增

○大，f(x)的值随着

________ ．

来源学科网y 1 -1 -1 y 1 1 x （2）f(x) = -x+2 -1 1 x 1

从左至右图象上升还是下降

______?

○-1 2

在区间

____________ 上，随着x的增

○y 大，f(x)的值随着

________ ．

（3）f(x) = x2

1 1在区间

____________ 上，

○-1 1 x f(x)的值随着x的增大而

________ ．

-1 2

在区间

____________ 上，f(x)的值随

○着x的增大而

________ ．

3、从上面的观察分析，能得出什么结论？

学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变

化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性

质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。

（二）研探新知

21、y = x的图象在y轴右侧是上升的，如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢？

学生通过观察、思考、讨论，归纳得出：

2函数y = x在（0，+∞）上图象是上升的，用函数解析式来描述就是：对于（0，+∞）22 上的任意的x1，x2，当x1＜x2时，都有x1＜x2. 即函数值随着自变量的增大而增大，具有这种性质的函数叫增函数。

2．增函数

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1

3、从函数图象上可以看到，y= x2的图象在y轴左侧是下降的，类比增函数的定义，你能概括出减函数的定义吗？

注意：

1

函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

○2

必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1

○4．函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间：

（三）质疑答辩，发展思维。

根据函数图象说明函数的单调性．

例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单

调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解：略

点评：从图像中看出函数的单调区间是立即单调性的基础。

变式训练1

函数f(x)2x在x[1,2]上的单调性为 （ ）

A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增

例2 物理学中的玻意耳定律P=k（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体V积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。

分析：按题意，只要证明函数P=k在区间（0，+∞）上是减函数即可。

V证明：略

点评：实际问题与函数模型之间的关联十分密切，我们常常借助函数的单调性解决问题。

变式训练2

若函数ymxb在(,)上是增函数，那么 （ ）

A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0

例3．16.求证：函数fxx解：设x1x20,1则

10,1上是减函数

，在区间xfx1fx2x1 x1x2

11x2x1x2x2x1x1x21 x1x21xx12x1x21 x1x2x1x2

x1x2

x1x20

x1x20,1

x1x20

x1x210

fx1fx20

fx1fx2

fxx

1在区间0,1上是减函数。

x点评：利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①

任取x1，x2∈D，且x1

②

作差f(x1)－f(x2)；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．

来源:Zxxk.Com]变式训练3.：画出反比例函数y1的图象．x来源:Zxxk.Com]

1

这个函数的定义域是什么？

○2

它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

○四、归纳小结

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：

取

值

→

作

差

→

变

形

→

定

号

→

下结论

【板书设计】

一、

函数单调性

二、

典型例题

例1：

例2：

小结：

【作业布置】完成本节课学案预习下一节。

§1.3.1函数的单调性与最大（小）值（1）

课前预习学案

一、预习目标：

1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2.熟记函数单调性的定义

二、预习内容：

1. 观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y y y

1 1 1 -1 -1 1 x -1 -1 1 x -1 -1 1 x

1

随x的增大，y的值有什么变化？

○2

能否看出函数的最大、最小值？

○3

函数图象是否具有某种对称性？

○2.画出下列函数的图象，观察其变化规律：

（1）f(x) = x 1

从左至右图象上升还是下降

______?

○2

在区间

____________ 上，随着x的增

○大，f(x)的值随着

________ ．

（2）f(x) = -x+2 1

从左至右图象上升还是下降

______?

○2

在区间

____________ 上，随着x的增

○大，f(x)的值随着

________ ．

（3）f(x) = x2

1在区间

____________ 上，

○y 1 -1 -1 y 1 -1 -1 y 1 -1 -1 1 x

1 x 1 x

f(x)的值随着x的增大而

________

．

2

在区间

____________ 上，f(x)的值随

○着x的增大而

________ ．

3.一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，

如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，

（1）当x1

f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是

函数

（2）当x1

f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是

函数

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一、学习目标 1. 通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

2. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

3. 能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性．

学习重点：函数的单调性及其几何意义．

学习难点：利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性

二、学习过程

例1 如图是定义在区间[－5，5]上的函数y=f(x)，根据图象说出函数的单

调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

解：

变式训练1

函数f(x)2x在x[1,2]上的单调性为 （ ）

A.减函数 B.增函数. C.先增后减. D.先减后增

例2 物理学中的玻意耳定律P=k（k为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体V积V减少时，压强P将增大。试用函数的单调性证明之。

证明：

变式训练2

若函数ymxb在(,)上是增函数，那么 （ ）

A.b>0 B. b<0 C.m>0 D.m<0

例3．证明函数yx解：

变式训练3.：画出反比例函数y1在（1，+∞）上为增函数

x1的图象．

x1

这个函数的定义域是什么？

○2

它在定义域I上的单调性怎样？证明你的结论．

○三、当堂检测

1、函数yx的单调增区间为 （ ）

A.(,0] B.[0,) C.(,) D.(1,)

2、函数f(x)2xmx3，当x[2,)时是增函数，当x(,2]时是减函数，则f(1)等于 （ ）

22

A.-3 B.13 C.7 D.由m而定的常数 kx在(,0)上是减函数，则k的取值范围是 （ ）

xA.k0 B.k0 C.k0 D.k0

3、若函数f(x)[来源:Z&xx&k.Com]4、函数f(x)|x|的减区间是____________________. 5、若函数f(x)(2m1)xn在(,)上是减函数，则m的取值范围是______. 课后练习与提高

一、

选择题

1、下列函数中，在区间（0，2）上为增函数的是 （ ）

2A.y3x1 B. y3x C.yx4x3 D.y4 x

2、函数yx22x3的单调减区间是 （ ）

A.(,3] B.[1,) C.(,1] D.[1,)

二、填空题：

3、函数f(x)3x26x1，x(3,4)上的单调性是_____________________. 4、已知函数y8xax5在[1,)上递增，那么a的取值范围是________.三、解答题：

5、设函数f(x)为R上的增函数，令F(x)f(x)f(2x)

（1）、求证：F(x)在R上为增函数

（2）、若F(x1)F(x2)0，求证x1x22

2[来源:学.科.网]

参考答案

例一

略

变式训练一B 例二

略

变式训练二C 例三

解：设x1x20,1则

fx1fx2x1 x1x2

11x2x1x2x2x1x1x21 x1x21xx12xx1 x1x212x1x2

x1x2

x1x20

x1x20,1

x1x20

x1x210

fx1fx20

fx1fx2

变式训练三略