阅读与思考 函数概念的发展历程教学设计及说课稿

课题

函数概念发展史

知识与技能

了解函数概念的产生与发展。

课型

新授课

通过大量史料和示例的分析展示，巩固对高中函数概念的认知；教学过程与方法

培养学生数学建模、数学抽象的核心素养。

目标

情感态度

体会静与动的辩证关系。

与价值观

教学用集合和对应的语言刻画函数的概念。

重点

教学对函数概念发展的理解

难点

一、教师引入

1、人类最初对动和变化的认识

2、诡辩

飞矢静止

二、学生演绎和展示函数的产生与发展

孙瑞琪（数学达人）：早在16、17世纪，生产和科学技术的发展要求数学不仅研究静止不教

学

内

容

设

计

和

教

学

方

法

选

择

动的量，而且要研究运动过程中各个量之间的依赖关系，从而促进数学由常量数学时期进入到变量数学时期，函数也就成为研究变量数学必不可少的概念。

十七世纪伽利略在《两门新科学》一书中，几乎全部包含函数或称为变量关系的这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。

1673年前后笛卡尔在他的解析几何中，已经注意到一个变量对另一个变量的依赖关系，但因当时尚未意识到要提炼函数概念，大部分函数是被当作曲线来研究的。

同样在1673年，莱布尼茨首次使用“function”表示“幂”，后来他用该词表示曲线上点的横坐标、纵坐标、切线长等曲线上点的有关几何量。与此同时，牛顿在微积分的讨论中，使用“流量”来表示变量间的关系，而他在《自然哲学的数学原理》中提出的“生成量”就是函数概念的雏形。函数的概念发展到这，仍然是在几何的框架的下，下面请杰出的数学家欧拉为大家带来代数观念下函数概念的发展。

焦帅晔（欧拉）：大家好！这是我的老师瑞士著名数学家约翰。白努力先生，1718年他在莱布尼茨函数概念的基础上对函数概念进行了定义：“由任一变量和常数的任一形式所构成的量。”强调函数要用公式来表示。

在提到我所给出的函数定义之前，不得不先提到发生在1746年的一个小小的争论。1746年，达郎贝尔在研究弦振动问题时，提出了用单独的解析表达式给出的曲线是函数。后来我发现有些曲线不一定是由单个解析式给出的，于是，我提出一个新定义：函数是”xy平面

上随手画出来的曲线所表示的y与x间的关系”。即把函数定义为一条随意画出来的曲线，我称之为任意函数，即包括了由单个解析表达式给出的连续函数，也包括由若干个解析式表示的不连续函数（还要告诉大家一个小秘密，“不连续”函数的名称是我首次提出的）。可惜的是我的观点没有被达郎贝尔接受，于是我们就展开了激烈的争论。

1748年，在我所著的《无穷小分析引论》中把函数定义为“由一个变量与一些常量通过任何方式形成的解析表达式。”这就把变量与常量以及由它们的加、减、乘、除、乘方、开方和三角、指数、对数等运算构成的式子，均称为函数。

随着研究的深入，1775年，我在《微分学》一书中，给出了函数的另一个定义“如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当后者变化时前者也随之变化，则称前面的变量为后面变量的函数。”不过，这里的“依赖”“随之变化”等的含意不十分确切，因此限制了函数的外延。

张晟男（傅立叶）：欧拉先生，让我来帮帮你吧！我是法国数学家傅立叶。1822年，在我的论文《热的分析理论》中，记录这样一个有趣的现象，如图所示的不连续曲线，表达式有无穷多个，即

这有力的揭示了，用函数表达式的“单一”与否来区别函数的真伪是不行的，这个发现也结束了函数是否以唯一一个式子表示的争论。

孙瑞琪：感谢两位大咖的精彩讲解，实际上1821年，十九世纪最杰出的法国数学家柯西也给出了如下的函数定义：“若当x的每个值，都有完全确定的y值与之对应，则称y是x的

函数。其中x叫做自变量。”在这个定义中，不仅第一次出现了自变量一词，也避免了数学意义欠严格的“变化”一词，同时，体现出了函数概念的本质——对应。函数概念进一步发展到对应关系下的函数。

请看

三、归纳提升，深化概念。

1、函数的概念

2、用集合的角度解释y1是函数？