阅读与思考 函数概念的发展历程优秀教学设计

《函数的概念》教学设计

【三维目标】

1.会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；通过学习函数概念，培养学生观察问题，提出问题的探究能力，进一步培养学生学习数学的兴趣和抽象概括能力；启发学生用函数模型表述和解决现实世界中蕴含的规律，逐渐形成善于提出问题的习惯，学会数学表达和交流，发展数学应用意识.

2.掌握构成函数的三要素，体会对应关系在刻画函数概念中的作用，使学生感受到学习函数的必要性的重要性，激发学生学习的积极性.

【教学重点】正确理解函数的概念，体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型.

【教学难点】函数概念及符号y=f(x)的理解.

【教学方法】诱思教学法

【教学过程】

Ⅰ.创设情景

引入课题

北京时间2007年10月24日18时05分，万众瞩目的“嫦娥一号”探月卫星成功发射，在“嫦娥一号”飞行期间，我们时刻关注着“嫦娥一号”离我们的距离随时间是如何变化的，数学上用函数来描述这种运动变化中的数量关系.

在初中已学习过函数的定义.

首先请同学们复习回顾初中学习的函数的定义：

设在某一变化过程中有两个变量x和y，如果对于每一个x值，y都有唯一的值和它对应，那么就说y是x的函数，x叫自变量，y叫因变量.

函数的定义从运动变化的观点描述了变量之间的依赖关系.

Ⅱ.探索研究

上一章我们已学习过集合，并且知道集合是现代数学的基本语言，能否用集合和对应的语言来描述函数？函数又有哪些构成要素呢？将是本节课探讨的主要内容.

一、实例分析

（1）一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标. 炮弹的射高为845m，且炮弹距地面的高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是：

h=130t-5t2.

（﹡）

你能得出炮弹飞行5秒、10秒、20秒时距地面多高吗？其中，时间t的变化范围是什么？炮弹距离地面高度h的变化范围是什么？

炮弹距离地面的高度h随时间t的变化而变化，对于在（0，26）范围内变化的任意一个时间t，按照关系式，都有没有高度h与它对应呢？若有，有几个？

这里，炮弹飞行时间t的变化范围是数集高度h的变化范围是数集.

，炮弹距地面的能否用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系？

从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（﹡），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应.

（2）近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题.图1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979～2001年的变化情况.

观察图中曲线可看到，臭氧层空洞面积s随着时间的变化在变化，1987年、1999年的臭氧层空洞面积分别是多少？由曲线可看出，对于在1979至2001年的每一个时间t，都对应着唯一的臭氧层

空洞面积.

其中t的变化范围是多少？臭氧层空洞面积s的变化范围是多少？

根据图中曲线可知，时间t的变化范围是数集层空洞面积s的变化范围是数集.

，臭氧观察分析并用集合与对应的语言描述变量之间的依赖关系.

对于数集A中的任意一个时间t，按照图中曲线，在数集B中都有唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.

（3）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. 表1中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化.

表1

“八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变化情况

时间(年)

城镇居民家庭

恩格尔系数(%)

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

2001

53.8

52.9

50.1

49.9

49.9

48.6

46.4

44.5

41.9

39.2

37.9

恩格尔系数与时间之间的关系是否和前两个实例中的两个变量之间的关系相似？如何用集合与对应的语言来描述这个关系？请仿照（1）（2）描述表中恩格尔系数和时间（年）的关系.

根据上表，可知时间t的变化范围是数集格尔系数y的变化范围是数集，恩.

并且，对于数集A中的任意一个时间t，根据表1，在数集B中都有唯一确定的恩格尔系数y和它对应.

二、问题探讨

以上三个实例有什么不同点和共同点？

活动：让学生分组讨论交流，引导学生找出这三个对应的本质共性.

三个实例中都有两个变量，变量的取值范围都可用集合表示，两个集合之间都有一定的对应关系，有怎样的对应关系呢？

归纳以上三个实例，可看出其不同点是：实例（1）是用解析式刻画变量之间的对应关系，实例（2）是用图像刻画变量之间的对应关系，实例（3）是用表格刻画变量之间的对应关系.

其共同点是：①都有两个非空数集A，B；②两个数集之间都有一种确定的对应关系；是一种怎样的对应关系？③对于数集A中的每一个x，按照某种对应关系f，在数集B中都有唯一确定的y值和它对应. 记作这样的对应称为函数.

Ⅲ.归纳概括

通过对三个实例的探讨分析，找出了其共同点.

在三个实例中，大家用集合与对应的语言分别描述了两个变量之间的依赖关系，其中一个变量都是另一个变量的函数，

你能否用集合与对应的语言来刻画函数，抽象概括出函数的概念呢？

活动：让学生分组讨论交流，归纳出函数的概念.

1.函数的概念:

一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合中A任意一个数x，在集合中B都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称为从集合A到集合B的一个函数，记作

我们把其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合显然，值域是集合的子集.

用集合与对应的语言给出了函数的定义，请同学们分析函数的本质是什么？构成函数的基本要素有哪些？

2. 函数的本质：种对应).

3．函数的构成要素：定义域、对应关系、值域.

强调：①值域由定义域和对应关系唯一确定；

②f(x)是函数符号，f表示对应关系，f(x)表示x对应的函数值，绝对不能理解为f与x的乘积.在不同的函数中f的具体含义不同，由以上三个实例可看出对应关系可以是解析式、图象、表格等.函数除了可用符号f(x)表示外，还可用g(x),F(x)等表示．

Ⅳ

提出问题：(设计意图：加深对函数概念的理解.)

初中已学习过一次函数、二次函数、反比例函数，下面请大家回答以下问题：

(在对应关系f下，集合A到集合B的一叫做函数的值域.

一次函数、二次函数、反比例函数的定义域、值域、对应关系分别是什么？

并用函数的概念来描述这些函数.

1.一次函数个数，在中都有唯一的数的定义域是，值域是和它对应.

的定义域是，值域是.

，对于中的任意一2.二次函数当于时，，在；当中都有唯一的数时,

.对和它对应.

中的任意一个数3.反比例函数的定义来描述.

的定义域、对应关系和值域各是什么？请用函数函数的本质是两个非空数集间的一种确定的对应关系，下面请同学们

Ⅴ. 思考辨析：

1.

2.3.是函数吗？

是函数吗？

是函数吗？

方法引导：如何判断给定的两个变量间是否具有函数关系？

依据定义，依据定义中的哪几个要点？要注意函数概念中的关键词.

（1）定义域和对应关系是否给出？（2）根据所给对应关系，自变量x在定义域中的每一个值，是否都有唯一确定的y值和它对应？

判断函数的标准可以简化成：两个非空数集A，B，一个对应关系.

结合三个实例分析，使学生更深刻理解函数的概念.

由学生总结：理解函数的定义应注意：

①函数是非空数集到非空数集上的一种对应.

②符号“f:A→B”表示从A到B的一个函数.集合A中数的任意性，集合B中数的唯一性.

提出问题：你能举出函数的实例吗？(举出不同类型、生活中函数的例子吗？)

如：出租车计价器上的读数是行驶公里数的函数；火车票票价是里程数的函数；家庭电费是家庭用电量的函数；某人的身高是其年龄的函数，反之年龄未必

是身高的函数，同一身高可能对应不同的年龄，函数的例子还可以列举很多，不再一一枚举，望同学们课下讨论.

Ⅵ.【练习反馈】

1.下列图像中不能作为函数y=f(x)图像的是（

B ）

Ⅶ.【提炼总结】

1. 本节课探讨了用集合和对应的语言描述函数的概念，并引进了函数符号y=f(x).

2. 突出了函数概念的本质：两个非空数集间的一种确定的对应关系.

3．明确了构成函数的三要素：定义域、对应关系、值域.

Ⅷ.【课后作业】

一、举出生活中函数的例子（三个以上），并用集合与对应的语言来描述函数，同时说出函数的定义域、对应关系和值域.

二、课本P24 习题1.2 1、3、4

Ⅸ.【板书设计】

函数的概念

一、实例分析

3. 函数的本质：

非空数集间的一种确定的对应关系

注意：(1)非空数集A，B；

(2)集合A中数的任意性，

B中数的唯一性.

二、探讨研究

三、归纳概括

1.函数的定义

记作：

四、思考辨析

五、练习反馈

六、提炼总结

七、课后作业

2. 函数的构成要素：

定义域、对应关系、值域；