阅读与思考 函数概念的发展历程主要内容及教案内容

研究性学习：函数概念的发展历程及函数的表示法（2）

【学习目标】1．学会用数学表达式去表达实际问题，进一步理解分段函数，并能简单应用。

2.了解映射的概念，体会函数是特殊的映射。

3.了解数学文化的魅力，加深对函数概念的理解，为以后学习打下良好的基础

【课前导学】先预习教材第22-23页，找出疑惑之处，完成新知学习。

1．

分段函数：在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数。

关键：“分段函数，分段处理”。分段函数的定义域即为每一段的自变量的取值范围的 集。

2．映射：一般地，设A、B是两个 的 ，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的 x，在集合B中都有 的元素y与之对应，那么就称对应f:AB为从集合A到集合B的一个 ．记作“f:AB”。

关键：A中任意，B中唯一；对应法则f. 3．函数与映射的关系：函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“ ”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射. 简言之：函数一定是映射，而映射不一定是函数. 【预习自测】首先完成教材上P23第4题；然后做自测题。（练习4： 、 ）

1，x0x1,x0f1___1．若fx，x0，则f；2．若，若fx3，则x 。

fxx1,x0x1，x03. 讨论：下列对应是否是集合A到集合B的映射？（是映射的有 ）

①

A{1,4,9}, B{3,2,1,1,2,3}，对应法则：开平方；②A{3,2,1,1,2,3}，B{1,4,9}，对应法则：平方；231,,}, 对应法则：求正弦；④A{2,1,0},B{1,2}，对应法则：绝对值。

222小结：映射的对应情况有 、 ，一对多是映射吗？

【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示

③

A{30,45,60}, B{1,探究一：某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：（1）5公里以内（含五公里），票价1元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加2元（不足5公里的按5公里计算）。

如果某条线路的总里程为15公里，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像。

变式：画出函数y|x1|的函数图像

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x

y

y

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x

探究二：探究从集合A到集合B一些对应法则，哪些是映射，哪些是一一映射？

（1）A={P | P是数轴上的点}，B=R；

对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应。

（2）A={x|x是三角形}，B={x|x是圆}；对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆。

（3）A={ P | P是平面直角体系中的点}，B{(x,y)|xR,yR}；对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应； （4）

A={高一学生}，B= {高一班级}.对应关系f：每一个班级都对应班里的学生。

解： 是映射； 是一一映射。

变式1：如果是从B到A呢？ 解： 是映射； 是一一映射。

变式2：已知集合Aa,b,B1,0,1,从集合A到集合B的映射，试问能构造出多少个映射？

探究三：自17世纪近代数学产生以来，函数的概念一直处于数学的核心地位。请用心搜集，广泛阅读，在书籍，网页中找有关函数的介绍，每个小组汇报研究成果和心得。

同学们可以从以下几个选题中任选其一进行探究： 1．函数产生的社会背景 2．函数概念发展的历史过程

3．函数符号的故事 4．数学家与函数 5．你也可以自己选择一个函数概念的侧面进行探究 【总结】1、分段函数的表示法与意义：它是一个函数，不是几个函数，只是不同范围的x，对应法则不同而已。

2、判定是否是映射主要看两点：一是A集合中的元素都要有对应，但B中元素未必要有对应；二是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式。