阅读与思考 函数概念的发展历程教学实录与评析

第1讲

函数的概念

第一部分

知识点梳理

1、函数的定义

函数：设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应关系f，使_对于集合A中的任意一个数X在集合B中有唯一确定的数f(x)和它对应_______________，那么就称______f__为从集合A到集合B的一个函数，记作________，________其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做__函数的定义域______；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合f(x)xA叫做___值域_____。

2、函数的三要素：__定义域A______、__对应法则F______和______值域__为函数的三要素。

3、求函数的定义域

（1）当函数是以解析式形式给出时，其定义域就是使函数解析式有意义的自变量的取值集合；

①负数不能为偶次方根；

②分母不能为零；

③函数本身的要求；

④有限个函数的四则运算得到的新函数，它的定义域是这有限个函数的定义域的交集。

（2）当函数是以实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。

4、求函数的解析式的常用方法

由具体的实际问题建立函数关系求解析式，一般是通过研究自变量、函数及其他量之间的等量关系，将函数用自变量和其他量的关系表示出，但不要忘记确定自变量的取值范围。

求函数解析式的常用方法有：

（1）由实际问题建立函数关系式。

（2）待定系数法，适用于特征已明确的函数。

（3）换元法，已知fg(x)h(x)，求f(x)，设g(x)t可解出x代入h(x)。

（4）构造方程法。

（5）代入法，复合函数解析式常用此法。

5、分段函数

当自变量x在不同的取值区间（范围）内取值时，函数的对应法则也不同的函数为分段函数。

第二部分

金题精讲

一、求函数的定义域

典例1 求下列函数的定义域

3x4x8（1）y2；（2）y

2x3x23x2

总结与启迪：求函数的定义域一般是转化为解不等式或不等式组的问题，注意定义域是一个集合，其结果必须用集合或区间表示

变式题1 函数yx(x1)x的定义域为（

）

A.xx0

B.xx1

C.xx10

D.x0x1

二、求复合函数的定义域

典例2 设yf(x)的定义域是0,2，求下列函数的定义域。

（1）f(x3)；

总结与启迪：根据“若f(x)的定义域为a,b，则fg(x)的定义域为ag(x)b的解集”来解相应的不等式（或不等式组）。

变式题2 已知f(x1)的定义域为0,3，求f(x)的定义域。

三、求函数的值域

典例3 求下列函数的值域

（图像的作用，图像的复合、叠加、移动）

（1）y3x1,x,1；

（2）yx1；

（3）yx2x1；

（4）x2y2；

x1

总结与启迪：利用熟知的基本函数的值域，通过对表达于简单的变形和观察求出函数的值域。

变式题3 求函数y54xx2的值域

四、函数图象的应用

典例4 若xR,f(x)是y2x2,yx这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为（

）

A.

2

B.

1

C.

-1

D.无最大值

总结与启迪：函数图象可以形象地反映函数的性质，通过观察图象可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等，应用函数图象解题体现了数形结合的思想方法。

变式题4 下图所表示的解析式为（

）

3x1,(0x2)

233B.yx1,(0x2)

223C.yx1,(0x2)

2A.yy32OD.y1x1,(0x2)

五、求函数的解析式

典例5 求函数的解析式

12x已知f(x1)x2x，求f(x)。

总结与启迪：换元法（或配凑法）是求函数解析式的重要方法，若不清楚函数类型，比如已知fg(x)的解析式，求f(x)的解析式，可采用配凑法或换元法，配凑法是将fg(x)的右端的代数式配凑成关于g(x)

的形式，进而求出f(x)的解析式；换元法可今g(x)t，解出x，即用t表示x，然后代入fg(x)中即可求得f(t)，从而求得f(x)。

变式题5 已知f(x2)x23x1，求f(x)。

六、分段函数求值域

典例8 设定义在正整数集上的函数f(x)满足n13(n2000,nN)f(n)，试求f(2009)的值。

ff(n18)(n2000,nN)

总结与启迪：求分段函数的函数值要注意自变量所在的范围及其对应的解析式，有时需要反复利用对应关系才能求出函数值。

n3(n10)变式题8 已知f(n)且nN，则f(5)的值是（

）

ff(n5)(n10)A.

7

B.

8

C.

9

D.10

七、分段函数的图象

x2(1x1)典例9 已知f(x)

1(x1或x1)（1）画出f(x)的图象；

（2）求f(x)的定义域和值域；

总结与启迪：研究分段函数的性质时，应根据“先分后合”的原则，

尤其是在作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，再将它们连在一起得到整个函数的图象。

变式题9 求下列函数的图象及值域：

1(0x1)（1）f(x)

（2）yx1x2

xx(x1)

课后自测

1、（1）若f(x)的定义域为0，3，求f(x1)的定义域。



（2）若f(x1)的定义域为3，3，求f(x)的定义域。

2、求下列函数的解析式

（1）已知f(x)x21x11，求f(x)。

2x（2）已知f(x)是二次函数，且满足f(0)1，f(x1)f(x)2x，求f(x)的解析式。