数学活动 关于三角形全等的条件教学目标

数学活动：关于三角形全等的条件

淮安市城北开明中学

蒋耕田

教学目标：

1.经历分类探索三角形全等的条件的活动过程，体会如何从数学的角度发现问题和提出问题.

2.在活动中，通过画三角形探索两个三角形全等的条件，进一步体会根据条件画三角形与判定两个三角形全等之间的关系.

3.体会分类思想，体验独立思考与合作交流的学习过程，积累数学活动经验.

教学重点：根据三个元素分别相等的条件，分类探索三角形全等的条件.

教学难点：画图探索“两边和一角分别相等的两三角形全等是否全等”.

教学过程：

【回顾点题】

课前打好预习分

开头语：师，前几节课，我们一起探索出了两个三角形全等的条件，那么判定两个三角形全等有哪几种方法？

生答：SAS ASA SSS AAS 师板书：三个基本事实，一个推论。当然我们也可以根据以上任一种判定画出一个三角形。

师提问：在探索三角形全等的条件的第一节课时，我们通过画图得出，1个或2个两个元素分别相等并不能确定一个三角形，当然也就不能证明两个三角形全等了。满足以上条件的3个元素分别相等时，两个三角形才能全等。

请一位同学分别用文字叙述一下这四个判定？

生说:两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.（SAS）

两角及其夹边分别相等的两个三角形全等. （ASA） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. （AAS） 三边分别相等的两个三角形全等. （SSS） 师说：那么，是不是，两个三角形只要具备3对元素分别相等，他们就一定全等吗？

生说：不一定。

师接着问：把两个三角形中有3对元素分别相等的情况可以分成几类？

生说：

师板书：（1）三角分别相等；

（2）两角和一边分别相等（其中有ASA、AAS）；

（3）两边和一角分别相等（其中有SAS）；

（4）三边分别相等 （SSS）。

老师提前设计好格式：

师：揭题并板书课题：今天我们再来探索两个三角形全等的条件，是不是

具备3个元素甚至4个元素再甚至5个元素分别相等，两个三角形就一定全等了。下面请同学一起合学导学案。（课题：关于三角形全等的条件再探索）

【探索活动】

1.已知△ABC，如何画△A′B′C′，使△A′B′C′

≌△ABC.

画图时思考：请写出你是根据哪一种判定方法画出△A′B′C′的？（用尽可能多的方法去画△A′B′C′）

师：要求领学同学台演示解说画法。如何有学生没根据AAS画的？，可以追问，如果学生不能及时给出方法，可以给学生独立思考的时间！

生：利用平行线解决。

师说：打出“领学分”刚刚几位同学分别用了以上的三个基本事实与一个推论画出了△A′B′C′，发现这样的3个元素分别相等，两个三角形是全等的。那么是不是只要有3个元素分别相等，两个三角形就全等呢？请下一组为我们领学要点部分2.3两题。

2.三个角分别相等的两个三角形是否全等？（如果全等请说明理由，若不全等请画出反例）

解题后反思与归纳：

学生可能会说至少有一组边相等，才能全等。此问刚好过渡到下一个问题。师抓住时机追问：两角和一边分别相等的两个三角形是否一定全等？

3.画△ABC，使∠A=45°，∠B=30°，AC=3cm ，画△A′B′C′，使∠A′=45°，∠B′=30°，B′C′=3cm 试比较△ABC与△A′B′C′全等吗? 设计目的，在已知两角和一边分别相等时，两个三角形在什么情况下全等，什么情况下不全等？

解题后反思与归纳：领学组学生总结，对比以上（包括引入的图），两角及其夹边分别相等、两角分别相等且其中一组等角的对边相等。反之，不全等。

师板书：根据学生的总结在板书上标出“这边”要么是夹边、要么是一组等角的对边（位置关系）

4. 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形是否全等？

（将问题变为符号语言表述）在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E 。

探究

（1）若∠B是直角（画出符合条件的两个三角形，是否全等）（其实就是直角三角形全等判定）

（2）若∠B是钝角（画出符合条件的两个三角形，请回答是否全等，请写出证明过程）（构造直角三角形进行证明，体现转化思想）

体现转化思想，此类题也是我们中考中常考“构图法”--图变、法不变。

（3）若∠B是锐角（画出符合条件的两个三角形，请说明是否全等，若不全等，请说明理由）

师根据学生展示补充：在画图中发现当∠B是锐角确定时，若AC≥BC时，△ABC才能确定。只有确定△ABC，才能画出与之对应的△DEF；若AC＜BC时，△ABC有两种情况，所以无法画出唯一的一个△DEF与它全等。

思考与小结：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若∠B ∠A，则△ABC ≌△DEF. （此题学生可能会画出两种情况---两个三角形，师可以追问什么时候画出的三角形唯一？由边的关系导出角的关系，大角对大边、小角对小边）

归纳结论：两边及其较大边所对的角分别相等的两三角形全等。

解题后反思与归纳：两边及其较大边所对的角分别相等的两三角形全等。

师补充：由上图，大角对大边，小角对小边（由边导角），只有当较大的边所对的角分别相等时，两个三角形才全等。

师根据总结在板书上做标记：“这个角”要么是夹角、要么是较大的边所对的角。

过渡语：在3个元素分别相等时，只有满足这些条件两个三角形才能全等（或三角形才能确定），不知道，如果有4对（或5对）元素分别相等，那么两个三角形是不是一定会全等？

【类比拓展】

有四对（或五对）元素分别相等的两个三角形是否全等？（请分别画出一对不全等的三角形）

本题可用问题3可以解说。

师：追问有6对元素分别相等，那么这两个三角形一定全等吗？

生：会。可以转化为四种判定的任一种方法。

【总结感悟】

通过本节课的探索，你对判定两个三角形全等的条件有什么新的认识？

师生提炼：根据板书提炼：四种方法，但两角一边时，这边一定要是已知角的夹边或一组等角的对边；两边一角时，这个角要是已知边的夹角或较大角的对边方可。

今天，我们通过画图的方式进一步探索了三角形全等的条件，发现只需要在数量、位置上有特殊关系的三个元素分别相等，两个三角形就全等了。这就为我们以后的研究三角形相似、判定特殊四边形的条件提供了研究方

向（还是从角、边的数量与位置关系上去探索）。

师板书：数量（数）、位置（形）

生长数学

【课后作业】

已知三角形的两边长分别是2cm和4cm，一个内角为40°。

（1）请画出一个满足题设条件的三角形；

（2）是否还能画出既满足题设条件，又与（1）中所画的三角形不全等的三角形？

若能，请画出所有这样的三角形；若不能，请说明理由.

（3）如果将题设条件改为“三角形的两边长分别是3cm和4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形有多少个？

板书设计：

课题：

数学活动：

关于三角形全等的条件（再探索）

（1）三角分别相等；

（2）两角和一边分别相等（其中有ASA、AAS）；

（3）两边和一角分别相等（其中有SAS）；

（4）三边分别相等 （SSS）。

边与角的数量关系、位置关系

三角形相似、判定特殊四边形的条件

（数） （形）

说明：本节课采用的是“学案”

导学小组合作学教模式，PPT只是对导学案的补充与拓展（所以内容较少）。

教学反思：在画图中体会了，三角形的确定性思想，发现了已知两角一边、两边一角并不能证明两个三角形全等，这些元素除了数量上要相等之外，位置也有所要求，增强了学生科学、严谨、规范地表达结论。本节课重点体现了转化、分类、数形结合等数学思想方法。学生还惊喜地发现，在同一三角形中，大边对大角（或大角对大边）的结论，学生在活动中，胆大地交流研讨、发表自己的观点，思维活跃、方法不一、体现勇于探究的精神。在课的结尾，本人将探索三角形全等的条件的方法生长为研究一类问题（三角形相似的条件、特殊四边形的判定等）的方式。在合作学习中，除了对子合作、小组内合作，还有小组与小组之间的合作，体现了班级团队精神！少教多学下的数学课堂，问题是基础，精讲是关键，价值是方向。