复习参考题教学实录及点评

利用函数单调性解不等式

我们知道对于属于定义域内某个区间的任意两个自变量的值x1，x2，当x1﹤x2时，都有f(x1)﹤f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。由单调性的定义可知，函数的单调性具有可逆性，即已知y= f(x)在I是增函数，若f(x1)＞f(x2)，则x1＞x2x。函数的单调性使得自变量的不等关系和函数值之间的不等关系可以互逆互推，利用函数单调性的可逆性，可以“脱去”函数符号“f”，使问题由难变易，由繁变简。

一、抽象函数

例：定义在（-1.1）上的函数f(x)满足：对任意x,y （-1.1）都有f(x)+ f(y)= f(xy) 1xy⑴

求证：函数f(x)是奇函数；

⑵

若当x（-1，0）时，有f(x)＞0，求证：f(x)在（-1.1）上是减函数；

⑶

在2的条件下解不等式：f(x+1)+ f(21)＞0 x1解析：⑴令x=y=0，则f(0)+ f(0)= f(0) ∴ f(0)=0 令y=-x，则f(x)+ f(-x)= f(0)=0 ∴函数f(x)是奇函数。

⑵设x1，x2（-1，1）且x1﹤x2。则f(x1)- f(x2) = f(x1)+ f(-x2) = f(x1x21x1x2)

∵ x1，x2（-1.1）且x1﹤x2， x1-x2

﹤0，-1﹤x1x2﹤1，

（x1+1）（x2-1）﹤0即x1-x2＞x1x2-1 ∴-1﹤x1x21x1x2﹤0，f(x1x21x1x2)＞0，即f(x1) ＞f(x2)。

∴函数f(x)在（-1.1）上时减函数。

⑶原不等式可化为f(x+1)＞f(21) x1函数f(x)在（-1.1）上是减函数。

1

x1 -1﹤x+1﹤1 2 -1﹤1﹤1 x1解得：-3﹤x﹤-1 2∴ x+1﹤2∴原不等式的解集为{x|-3﹤x﹤-1} 2点评：此题综合考查函数的奇偶性、单调性判定及单调性的应用。第3问就是利用函数单调性脱去了抽象函数中的“f”，进而转化为整式不等式。

二、具体函数

已知：a﹤0，函数m(t)=1at2+t-a的定义域为[22,2]记函数

m(t)的最大值为g(a)

（1）

求g(a)的表达式

（2）

求满足g(a)＞g(1)的所有实数a。

a分析：

∴函数ym(t)的表达式为m(t)1a(t1)2a2a1. 2a

函数m(t)的对称轴为t1.

a①当01a2

即

a2时，函数m(t)在[2,2]上为增函数，

2∴m(t)maxm(②当22)2 111212即a时，m(t)maxm()a.

a2aa22∴m(t)maxaa21

2a③当12即1a0时，函数g(x)在[∴m(t)maxm(2)a2. 2,2]上为减函数，

g(a) 2 3

.222,a2综上可知，g(a)a1,2a.12a221a2,a02

2

（2）

当-2a02-22

-12O a 时，由函数单调性的定义不难得知g(a)在（-22，0）上单调递增，于是易知其图象如右图所示。

则g(a)g(1)等价于 a1

aa -解之得-2a0 22a0，所以，a2的取值范围为（-22，0）。

a点评：第2问若直接求出解析式再解不等式，需讨论a、1的范围，这样太繁琐又太困难，此法不可取。这里我们利用函数单调性把问题转化，做到了由难变易，使问题迎刃而解。

三、构造函数

例1：解关于x的不等式x(1+＞0 分析：我们解不等式的最终目标都是把各种不等式转化为整式不等式，此题直接解没有办法，通过观察，我们可构造函数利用函数的单调性达到转化的目的。

令f(x)=x(1+x22) (x1)22) x22)+(x+1)(1+(x1)22)f(x+1)= (x+1)(1+即求f(x)+ f(x+1) ＞0解集。

易知f(x)是奇函数，且f(x)在R上是增函数（求导可得）。

∴ f(x) ＞f(-x-1) ∴x＞-x-1 ∴x＞-1

2∴不等式的解集为{x|x＞-1} 2例2：已知f(x)=㏑（ax+b）-x,其中a＞0，b＞0。

（1）

求使f(x)在[0,+∞）上是减函数的充要条件；

（2）

解不等式㏑（1+解析：（1）f'(x)= aaxbx1x）-axb㏑x1x2-1 -1=abax

∵x≥0,a＞0,b＞0 ∴f'(x)≤0时，a-b≤0，即a≤b，当a≤b时，∵ a＞0，

b＞0，x≥0，∴ax+b＞0,a-b-ax≤0,即f'(x) ≤0。

∴f(x)在[0,+∞）上是减函数的充要条件为b≥a。

（2）

在（1）中取a=b=1，即f(x)= ㏑（x+1）-x，由（1）知f(x)在[0,+∞）上是减函数。

∵㏑（1+ ∴x1xx1x）-x1x5≤㏑2-1，即f（1-52x1x）≤f(1) ≥1,解得12≤x＜0或x≥15

5 故所求不等式的解集为[12,0）∪[12,+∞）

利用函数的单调性解不等式，可把问题由繁化简，由难化易。这里蕴含着转化划归的思想，所以当我们在解不等式时，可利用函数的单调性来实现问题的转化。