阅读与思考 集合中元素的个数第二课时 公开课

教学设计

1.1.3

集合的基本运算

整体设计

教学分析

课本从学生熟悉的集合出发，结合实例，通过类比实数加法运算引入集合间的运算，同时，结合相关内容介绍子集和全集等概念．在安排这部分内容时，课本继续注重体现逻辑思考的方法，如类比等．

值得注意的问题：在全集和补集的教学中，应注意利用图形的直观作用，帮助学生理解补集的概念，并能够用直观图进行求补集的运算．

三维目标

1．理解两个集合的并集与交集、全集的含义，掌握求两个简单集合的交集与并集的方法，会求给定子集的补集，感受集合作为一种语言，在表示数学内容时的简洁和准确，进一步提高类比的能力．

2．通过观察和类比，借助Venn图理解集合的基本运算．体会直观图示对理解抽象概念的作用，培养数形结合的思想．

重点难点

教学重点：交集与并集、全集与补集的概念．

教学难点：理解交集与并集的概念，以及符号之间的区别与联系．

教学过程

导入新课

思路1．我们知道，实数有加法运算，两个实数可以相加，例如5＋3＝8.类比实数的加法运算，集合是否也可以“相加”呢？教师直接点出课题．

思路2．请同学们考察下列各个集合，你能说出集合C与集合A，B之间的关系吗？

(1)A＝{1,3,5}，B＝{2,4,6}，C＝{1,2,3,4,5,6}；

(2)A＝{x|x是有理数}，B＝{x|x是无理数}，C＝{x|x是实数}．

引导学生通过观察、类比、思考和交流，得出结论．教师强调集合也有运算，这就是我们本节课所要学习的内容．

思路3．(1)①如图1甲和乙所示，观察两个图的阴影部分，它们分别同集合A、集合B有什么关系？

图1 ②观察集合A，B与集合C＝{1,2,3,4}之间的关系．

学生思考交流并回答，教师直接指出这就是本节课学习的课题：集合的基本运算．

(2)①已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，写出由集合A，B中的所有元素组成的集合C. ②已知集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜0}，在数轴上表示出集合A与B，并写出由集合A与B中的所有元素组成的集合C. 推进新课

新知探究

提出问题

(1)通过上述问题中集合A，B与集合C之间的关系，类比实数的加法运算，你发现了什么？

(2)用文字语言来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系．

(3)用数学符号来叙述上述问题中，集合A，B与集合C之间的关系．

(4)试用Venn图表示A∪B＝C. (5)请给出集合的并集定义．

(6)求集合的并集是集合间的一种运算，那么，集合间还有其他运算吗？

请同学们考察下面的问题，集合A，B与集合C之间有什么关系？

①A＝{2,4,6,8,10}，B＝{3,5,8,12}，C＝{8}；

②A＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级女同学}，B＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级男同学}，C＝{x|x是国兴中学2012年9月入学的高一年级同学}．

(7)类比集合的并集，请给出集合的交集定义，并分别用三种不同的语言形式来表达．

活动：先让学生思考或讨论问题，然后再回答，经教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路，主要引导学生发现集合的并集和交集运算并能用数学符号来刻画，用Venn图来表示．

讨论结果：(1)集合之间也可以相加，也可以进行运算，但是为了不和实数的运算相混淆，规定这种运算不叫集合的加法，而是叫做求集合的并集．集合C叫集合A与B的并集．记

为A∪B＝C，读作A并B. (2)所有属于集合A或属于集合B的元素组成了集合C. (3)C＝{x|x∈A，或x∈B}．

(4)如图1所示．

(5)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．其含义用符号表示为A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}，用Venn图表示，如图1所示．

(6)集合之间还可以求它们的公共元素组成的集合，这种运算叫求集合的交集，记作A∩B，读作A交B.①A∩B＝C，②A∪B＝C. (7)一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．

其含义用符号表示为：

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．

用Venn图表示，如图2所示．

图2

应用示例

例1 集合A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，则A∩B，B∪C，A∩B∩C分别是什么？

活动：学生先思考集合中元素的特征，明确集合中的元素．将集合中元素利用数形结合在数轴上找到，那么运算结果寻求就易进行．这三个集合都是用描述法表示的数集，求集合的并集和交集的关键是找出它们的公共元素和所有元素．

解：因为A＝{x|x＜5}，B＝{x|x＞0}，C＝{x|x≥10}，在数轴上表示，如图3所示，所以A∩B＝{x|0＜x＜5}，B∪C＝{x|x＞0}，A∩B∩C＝.

图3 点评：本题主要考查集合的交集和并集．求集合的并集和交集时，①明确集合中的元素；②依据并集和交集的含义，直接观察或借助于数轴或Venn图写出结果. 变式训练

1．设集合A＝{x|x＝2n，n∈N*}，B＝{x|x＝2n，n∈N}，求A∩B，A∪B.

解：对任意m∈A，则有m＝2n＝2·2n1，n∈N*，因n∈N*，故n－1∈N，有2n1∈N，－－那么m∈B，即对任意m∈A有m∈B，所以A⊆B. 而10∈B但10A，即AB，那么A∩B＝A，A∪B＝B. 2．求满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B的个数．

解：满足{1,2}∪B＝{1,2,3}的集合B一定含有元素3，B＝{3}；还可含1或2其中一个，有{1,3}，{2,3}；还可含1和2，即{1,2,3}，那么共有4个满足条件的集合B. 3．设集合A＝{－4,2，a－1，a2}，B＝{9，a－5,1－a}，已知A∩B＝{9}，求a. 解：∵A∩B＝{9}，则9∈A，a－1＝9或a2＝9. ∴a＝10或a＝±3. 当a＝10时，a－5＝5,1－a＝－9；

当a＝3时，a－1＝2不合题意；

当a＝－3时，a－1＝－4不合题意．

故a＝10.此时A＝{－4,2,9,100}，B＝{9,5，－9}，满足A∩B＝{9}．

4．设集合A＝{x|2x＋1＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B等于(

) A．{x|－3＜x＜1}

B．{x|1＜x＜2} C．{x|x＞－3} D．{x|x＜1} 解析：集合A＝{x|2x＋1＜3}＝{x|x＜1}，

观察或由数轴得A∩B＝{x|－3＜x＜1}．

答案：A 例2 设集合A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若A∩B＝B，求a的值．

活动：明确集合A，B中的元素，教师和学生共同探讨满足A∩B＝B的集合A，B的关系．集合A是方程x2＋4x＝0的解组成的集合，可以发现，B⊆A，通过分类讨论集合B是否为空集来求a的值．利用集合的表示法来认识集合A，B均是方程的解集，通过画Venn图发现集合A，B的关系，从数轴上分析求得a的值．

解：由题意得A＝{－4,0}．

∵A∩B＝B，∴B⊆A. ∴B＝或B≠. 当B＝时，即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无实数解，

则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0，解得a＜－1. 当B≠时，若集合B仅含有一个元素，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，

此时，B＝{x|x2＝0}＝{0}⊆A，即a＝－1符合题意．

若集合B含有两个元素，则这两个元素是－4,0，

即关于x的方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的解是－4,0. －4＋0＝－2(a＋1)，则有

2－4×0＝a－1.

解得a＝1，则a＝1符合题意．

综上所得，a＝1或a≤－1. 变式训练

1．已知非空集合A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}，则能使A⊆(A∩B)成立的所有a值的集合是什么？

2a13a5,解：由题意知A⊆(A∩B)，即A⊆B，A非空，利用数轴得2a13,解3a522.得6≤a≤9，即所有a值的集合是{a|6≤a≤9}．

2．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，集合B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，试求实数m的取值范围．

分析：由A∪B＝A得B⊆A，则有B＝或B≠，因此对集合B分类讨论．

解：∵A∪B＝A，∴B⊆A. 又∵A＝{x|－2≤x≤5}≠，∴B＝，或B≠. 当B＝时，有m＋1＞2m－1，∴m＜2. 当B≠时，观察图4：

图4 m12m1,由数轴可得2m1,解得2≤m≤3. 2m15.综上所述，实数m的取值范围是m＜2或2≤m≤3，即m≤3. 点评：本题主要考查集合的运算、分类讨论的思想，以及集合间关系的应用．已知两个集合的运算结果，求集合中参数的值时，由集合的运算结果确定它们的关

系，通过深刻理解集合表示法的转换，把相关问题化归为其他常见的方程、不等式等数学问题．这称为数学的化归思想，是数学中的常用方法，学会应用化归和分类讨论的数学思想方法解决有关问题.

知能训练

课本本节练习1,2,3. 【补充练习】

1．设集合A＝{3,5,6,8}，B＝{4,5,7,8}，

(1)求A∩B，A∪B. (2)用适当的符号(⊇，⊆)填空：

A∩B________A，B________A∩B，A∪B________A，A∪B________B，A∩B________A∪B. 解：(1)因A，B的公共元素为5,8，故两集合的公共部分为5,8，

则A∩B＝{3,5,6,8}∩{4,5,7,8}＝{5,8}．

又A，B两集合的所有相异元素为3,4,5,6,7,8，故A∪B＝{3,4,5,6,7,8}．

(2)由Venn图可知

A∩B⊆A，B⊇A∩B，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∩B⊆A∪B. 2．设A＝{x|x＜5}，B＝{x|x≥0}，求A∩B. 解：因x＜5及x≥0的公共部分为0≤x＜5，

故A∩B＝{x|x＜5}∩{x|x≥0}＝{x|0≤x＜5}．

3．设A＝{x|x是锐角三角形}，B＝{x|x是直角三角形}，求A∩B. 解：因三角形按角分类时，锐角三角形和直角三角形彼此孤立，故A，B两集合没有公共部分．

所以A∩B＝{x|x是锐角三角形}∩{x|x是钝角三角形}＝. 4．设A＝{x|x＞－2}，B＝{x|x≥3}，求A∪B. 解：在数轴上将A，B分别表示出来，得A∪B＝{x|x＞－2}．

5．设A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是矩形}，求A∪B. 解：因矩形是平行四边形，故由A及B的元素组成的集合为A∪B，A∪B＝{x|x是平行四边形}．

6．已知M＝{1}，N＝{1,2}，设A＝{(x，y)|x∈M，y∈N}，B＝{(x，y)|x∈N，y∈M}，求A∩B，A∪B. 分析：M，N中的元素是数，A，B中的元素是平面内的点集，关键是找其元素．

解：∵M＝{1}，N＝{1,2}，∴A＝{(1,1)，(1,2)}，B＝{(1,1)，(2,1)}，故A∩B＝{(1,1)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)}．

7．若A，B，C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有(

) A．A⊆C

B．C⊆A

C．A≠C

D．A＝

解析：思路一：∵(B∩C)⊆B，(B∩C)⊆C，A∪B＝B∩C，

∴A∪B⊆B，A∪B⊆C.∴A⊆B⊆C.∴A⊆C. 思路二：取满足条件的A＝{1}，B＝{1,2}，C＝{1,2,3}，排除B，D，

令A＝{1,2}，B＝{1,2}，C＝{1,2}，则此时也满足条件A∪B＝B∩C，

而此时A＝C，排除C. 答案：A

拓展提升

观察：(1)集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；

(2)当A＝时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系；

(3)当A＝B＝{1,2}时，A∩B，A∪B这两个运算结果与集合A，B的关系．

由(1)(2)(3)你发现了什么结论？

图5 活动：依据集合的交集和并集的含义写出运算结果，并观察与集合A，B的关系．用Venn图来发现运算结果与集合A，B的关系．(1)(2)(3)中的集合A，B均满足A⊆B，用Venn图表示，如图5所示，就可以发现A∩B，A∪B与集合A，B的关系．

解：A∩B＝A⇔A⊆B⇔A∪B＝B. 用类似方法，可以得到集合的运算性质，归纳如下：

A∪B＝B∪A，A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)；A∪A＝A，A∪＝A，A⊆B⇔A∪B＝B；

A∩B＝B∩A；(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B；A∩A＝A；A∩＝；A⊆B⇔A∩B＝A.

课堂小结

本节主要学习了：

1．集合的交集和并集．

2．通常借助于数轴或Venn图来求交集和并集．

作业

1．课外思考：对于集合的基本运算，你能得出哪些运算规律？

2．请你举出现实生活中的一个实例，并说明其并集、交集和补集的现实含义．

3．书面作业：课本习题1.1，A组，6,7,8. 设计感想

由于本节课内容比较容易接受，也是历年高考的必考内容之一，所以在教学设计上注重加强练习和拓展课本内容．设计中通过借助于数轴或Venn图写出集合运算的结果，这是突破本节教学难点的有效方法．