习题2.3公开课教学设计模版

2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第二章

第三节幂函数

一. 教学内容：

幂函数

二. 学习目标

1. 理解幂函数y=xa的概念；

2. 以简单的幂函数为例研究它们的定义域、奇偶性、单调性及图像；

3. 理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的性质和图像特征

三. 知识要点

形如y＝xa的函数称为幂函数，其中x是自变量，a为常数.

1. 幂函数y=xn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法. 11熟练掌握y=xn，当n=±2，±1，±2，3，3时的图像和性质，列表如下：

2. 幂函数性质归纳.

（1）所有的幂函数在（0，+∞）上都有意义，并且图像都过点（1，1）；

（2）a0时，图像都通过两点（0，0）、（1，1）；并且在区间[0,)上是增函数. 需特

第1页

别注意的是，当a1时，幂函数的图像下凸；当0a1时，幂函数的图像上凸；

（3）当a0时，图像都通过一点（1，1）；图像在区间(0,)上是减函数. 在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴.

【典型例题】

例1、比较下列各组数的大小：

（1）分析：底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化成比较同一幂函数，不同函数值的大小的问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.

（3）分析：为了应用幂函数的单调性，要将指数统一，底数化为正数.

即评述：此例充分显示了化归转化思想在比较幂函数大小中的运用.

第2页

x2x22例2、已知xx解：∵xx121212123，求xx32323的值.

123，

∴(xx)9，

∴x2x∴xx111229，

7，

12(xx)49，

∴22∴xx47，

又∵xx32323232(xx)(x1x1)3(71)18，

47231831212x2x22∴xx

3.

a2x1f(x)x21是定义在R上的奇函数. 例3、已知（1）求f（x）及f1（x）的表达式；

－（2）若当x∈（－1，1）时，不等式f1（x）≥－log21xm恒成立，试求m的取值范围. 2x1f(0)0a1f(x)x21

解：（1）f（x）在R上为奇函数2x11y1y令yx2xxlog21y1y211y由2x001y11y1xf1(x)log2(1x1)1x

1x1x1x1xlog2log2m1x1xm1xm

（2）

由1x101x2m2

故所求m的取值范围是[2,).

例4、已知函数f(x)的定义域为R，且f(log2x)xa(a为正常数)x.

第3页

⑴

当a2时，求函数f(x)的解析式及值域；

⑵

如果函数f(x)是偶函数，求a的值；

⑶

当函数f(x)是偶函数时，用定义证明f(x)在(0,)上是增函数.

tx2(tR)

logxt2解：（I）设，则f(t)2t2得2t，

∴

f(x)2x22x，(xR)

f(x)2x221∴

2x22，当且仅当2x2x，即当x2时，取“=”号，

∴

f(x)的值域为[22,).

（2）

如果函数fx是偶函数，则有f(x)f(x)，

2xaa2x2x2x

∴(a1)(2x12x)0对任意xR恒成立. ∴

a1

（3）当f(x)是偶函数时，f(x)2x12x

设0x1x2，则

f(xf(xx11x21x2x22x11)2)21x22x1(22x2)(22)2x12x2

(2x12x2)(112x1x2)

∵

0x1x2，∴

2x12x2，2x1x21

∴

2x12x20，112x1x20，

∴

f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)

故f(x)在(0,)上是增函数.

111f(x)x3x13x33例5、已知函数5,g(x)x5

（1）证明：f（x）是奇函数，并求f（x）的单调区间，

（2）分别计算f（4）-5f（2）g（2）和f（9）-5f（3）g（3）的值，

由此概括出涉及函数f（x）和g（x）的对所有不等于零的x都成立的一个等式。

第4页

解：（1）函数f（x）的定义域为(,0)(0,)，关于原点对称，

又∴f（x）是奇函数

f(x)(x)(x)51313xx51313f(x)

x1x2x1,x2(0,)xx1f(x1)f(x2)1513131313设xx22513131111(x13x23)(111)5x13x23

x1x20,11x1x213130f(x1)f(x2)0

f（x）在（0，+∞）上单调递增，

又∵f（x）是奇函数，

∴f（x）在（-∞，0）上也单调递增。

（2）计算得f（4）-5f（2）g（2）=0，

f（9）-5f（3）g（3）=0，

由此概括出对所有不等于零的实数x得：

f（x2）-5f（x）g（x）=0. f(x2)5f(x)g(x)xxxxxx55552222131(xx3)(x3x3)055232313131313

主要数学思想方法

1、通过观察、总结幂函数的性质，培养抽象概括和识图能力，数形结合思想运用能力，提高由特殊到一般的归纳概括能力。

2、幂函数图像的位置和形状变化，并将图像的直观特点上升到理性知识，归纳、概括成函数的性质，培养概括的能力。

3、通过对幂函数图像的学习，加深对幂函数性质的理解，体会通过观察、分析函数图像来研究函数性质的方法.

【模拟试题】（答题时间：60分钟）

一、选择题

1. 下列函数是幂函数的是

（

）

A. y=2x

B. y=2x-1

C. y=（x+1）2

D. y=x

2. 下列说法正确的是

（

）

A. y=x4是幂函数，也是偶函数；

B. y=-x3是幂函数，

也是减函数；

第5页

32

C. y=x是增函数，

也是偶函数；

D. y=x0不是偶函数.

3. 下列幂函数中，定义域为R的是

（

）

A. y=x-2

B. y=x

12C. y=x

14D. y=x12

3

4. 若A=2，B=3，则A、B的大小关系是

（

）

A. A>B B. A

C. A2>B3

D. 不确定

5. 下列是y=x的图像的是

（

）

236. y=x与y=2的图像的交点个数是

（

）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

二、填空题2x

7. y=（m2-2m+2）x2m+1是一个幂函数，则m=

8. y=x的单调增区间为

.

139. 若(a1)

三、解答题

(32a)13，

则a的取值范围是

。

10、已知与最小值。

11、已知函数x，y满足x≥1，y≥1。loga2x+loga2y=loga（ax2）+loga（ay2）（a>0且a≠1），求loga（xy）的取值范围。

12、已知函数f（x）=logax（a>0且a≠1），（x∈（0，+∞）），若x1，x2∈（0，+∞），判断f(x)x211,32，

试求g(x)f[f(x)]2f(x)在[1,1]上的最大值x1x212［f（x1）+f（x2）］与f（2）的大小，并加以证明。

【试题答案】

1. D 2. A 3. A 4. B 5. B 6. C 7. 1

8. [0,)

第6页

13a2

9. 32224210、解：g(x)(x1)12(x1)x2(1)x2(1)

x[11,]x2[0,1]

22g(x)f(t)t2(1)t2(1), t[0,1]

对称轴

tx, t[0,1]令t1

01133111012得

22

由gmaxF(1)12(1)2(1)5411、解：由已知等式得：loga2x+loga2y=（1+2logax）+（1+2logay），

即（logax－1）2+（logay－1）2=4，

令u=logax，v=logay，k=loga（xy），则（u－1）2+（v－1）2=4（uv≥0），k=u+v

在直角坐标系uOv内，

圆弧（u－1）2+（v－1）2=4（uv≥0）与平行直线系v=－u+k有公共点，

分两类讨论

（1）当u≥0，v≥0时，即a>1时，结合判别式法与代点法得

gminF(1)(1)22(1)22(1)12

1+3≤k≤2（1+2）；

（2）当u≤0，v≤0，即0＜a＜1时，同理得到2（1－2）≤k≤1－3。

综上，当a>1时，loga（xy）的最大值为2+22，最小值为1+3；

当0＜a＜1时，loga（xy）的最大值为1－3，最小值为2－22。

12、解：f（x1）+f（x2）=logax1+logax2=logax1x2，

x1x2∵x1，x2∈（0，+∞），x1x2≤（2）2（当且仅当x1=x2时取“=”号），

x1x2当a>1时，有logax1x2≤loga（2）2，

x1x2x1x211∴2logax1x2≤loga（2），2（logax1+logax2）≤loga2，

x1x21即2[f（x1）+f（x2）］≤f（2）（当且仅当x1=x2时取“=”号）

x1x2当0＜a＜1时，有logax1x2≥loga（2）2，

x1x2x1x211∴2（logax1+logax2）≥loga2，即2［f（x1）+f（x2）］≥f（2）（当且仅当

第7页

x1=x2时取“=”号）。

第8页