习题2.1优秀说课稿

2.1.1 指数与指数幂的运算

教学目标：1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念；

2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质；

3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。

教学重点：根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质

教学难点：根式概念和分数指数幂概念的理解

教学方法：学导式

教学过程： 第一课时 引例：填空

（1）aaa（nN)； a=1（a0)； a0n*nn个a1(a0,nN*)

na (2)aaamnmn (m,n∈Z)； (am)namn (m,n∈Z)； (ab)nanbn (n∈Z) （3）9_____； -9_____；

（4）(a)2_____(

a0)； a2________（II）讲授新课

1.引入：

0______

（1）填空（1），（2）复习了整数指数幂的概念和运算性质（其中：因为aa可看作aa所以aaamnmnmnmn,可以归入性质aaamnmnmn；又因为()可看作aa，所以abnanan()n可以归入性质(ab)nanbn(n∈Z)）,这是为下面学习分数指数幂的概念和性质bb做准备。为了学习分数指数幂，先要学习n次根式（nN*）的概念。

（2）填空（3），（4）复***方根、立方根这两个概念。如：

2=4 ，（-2）=4  2，-2叫4的平方根

332=8  2叫8的立方根； （-2）=-8-2叫-8的立方根

5n2=32  2叫32的5次方根 … 2=a 2叫a的n次方根

22分析：若2=4，则2叫4的平方根；若2=8，2叫做8的立方根；若2=32，则2叫做32的n5次方根，类似地，若2=a，则2叫a的n次方根。由此，可有：

2.n次方根的定义：（板书）

一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根（n th root）,其中n1，且nN。 问题1：n次方根的定义给出了，x如何用a表示呢？x分析过程：

例1．根据n次方根的概念，分别求出27的3次方根，-32的5次方根，a的3次方根。（要求完整地叙述求解过程）

6235nna是否正确？

解：因为3=27，所以3是27的3次方根；因为(2)5=-32，所以-2是-32的5次方根；

因为(a2)3a6，所以a是a的3次方根。

结论1：当n为奇数时（跟立方根一样），有下列性质：正数的n次方根是正数，负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时，a的n次方根可表示为x从而有：3273，5322，3a6a2

例2．根据n次方根的概念，分别求出16的4次方根，-81的4次方根。

解：因为216，(2)416，所以2和-2是16的4次方根；

因为任何实数的4次方都是非负数，不会等于-81，所以-81没有4次方根。

结论2：当n为偶数时（跟平方根一样），有下列性质：正数的n次方根有两个且互为相反数，负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为：na(a0)

其中na表示a的正的n次方根，na表示a的负的n次方根。

例3．根据n次方根的概念，分别求出0的3次方根，0的4次方根。

解：因为不论n为奇数，还是偶数，都有0=0，所以0的3次方根，0的4次方根均为0。

结论3：0的n次方根是0，记作n00,即na当a=0时也有意义。

这样，可在实数范围内，得到n次方根的性质：

3.n次方根的性质：（板书）

na,n2k1na叫根式，n叫根指数，a叫被开方数。

x(kN*)

其中 na,n2kn263na。

4注意：根式是n次方根的一种表示形式，并且，由n次方根的定义，可得到根式的运算性质。

4.根式运算性质：（板书）

①（na）a，即一个数先开方，再乘方（同次），结果仍为被开方数。

问题2：若对一个数先乘方，再开方（同次），结果又是什么？

例4：求3(2)3

， 525 ，

434 ，

(3)2

由所得结果，可有：（板书）

②nanna,n为奇数；|a|,n为偶数

性质的推导如下：

性质①推导过程：

当n为奇数时，xna,由xna得(na)na

当n为偶数时，xna,由xna得(na)na

综上所述，可知：(na)na

性质②推导过程： 当n为奇数时，由n次方根定义得：anan

当n为偶数时，由n次方根定义得：anan

则|a||nan|nan

综上所述：(na)na,n为奇数|a|，n为偶数

注意：性质②有一定变化，大家应重点掌握。

（III）例题讲解

例1．求下列各式的值：

32434 （4）(ab)2（a>b）

（1）（－8）（2）（－10）（3）（3－）注意：根指数n为奇数的题目较易处理，要侧重于根指数n为偶数的运算。

（III）课堂练习：求下列各式的值

(1)532 (2)(3)4 (3)(23)2 (4)526

（IV）课时小结

通过本节学***家要能在理解根式概念的基础上，正确运用根式的运算性质解题。

（V）课后作业

1、书面作业：

a.求下列各式的值

3（1）－27 (2)a62 (4)(（3）（－4）x12)

3xb.书P69习题2.1 A组题第1题。

2、预习作业：

a.预习内容：课本P59—P62。

b.预习提纲：

（1）根式与分数指数幂有何关系？

（2）整数指数幂运算性质推广后有何变化？

第二课时

1.填空

5（1）364______,

（2）481______,32_______；481______；

312（3）(43)4______, (4)5a10_____,

(56)5______；a_______；5（5）5（2）___,7(3)7_____；

（6）6(4)6____,454______.

（II）讲授新课

分析：对于“填空”中的第四题，既可根据n次方根的概念来解：

(a2)5a10,5a10a2；也可根据n次方根的性质来解：5a105(a2)5a2。

问题1：观察5a10a2,4a12a3，结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？

a510a105a,a2412a123即：当根指数的被开方数的指数能被根指数整除时，a4，根式可以写成分数指数幂的形式。

问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？如：aa是否可行？

2323分析：假设幂的运算性质(a)amn23mn对于分数指数幂也适用，那么(a)a22233233a2，这说明a也是a2的3次方根，而3a2也是a的3次方根（由于这里n=3，a的3次方根唯一），于是a2a。这说明a2a可行。

由此可有：

1.正数的正分数指数幂的意义：<板书> 323323anam(a0,m,nN*,且n1) 注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式；二是要注意被开方数a的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。

问题3：在上述定义中，若没有“a>0”这个限制，行不行？

分析：正例：(8)反例：(8)124nmn13382,(2)52610(2)105(2)4,(2)3(2)2等等；

2231331282,(8)6(8)22,而实际上；又如：

36434124（8）（8）（8），（8）48124（83）83。这样就产生了混乱，因此12“a>0”这个限制不可少。至于(8)13382，这是正确的，但此时(8)不能理解13

为分数指数幂，5510512不能代表有理数（因为不能改写为），这只表示一种上标。而3623那是因为(2)10210,(2)222，负号内部消化了。

(2)(2),(2)3(2)2，问题4：如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂？

分析：正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿；0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。

2.负分数指数幂：<板书> amn1amn(a0,m,nN*,且n1)

3.0的分数指数幂：（板书）

0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂无意义（为什么？）。

说明：（1）分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规定的合理性；

（2）规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数；

（3）可以验证整数指数幂的运算性质，对于有理数幂也同样适用，即（板书）

arasars(a0,r,sQ)；

(ar)sars(a0,r,sQ)

(ab)rarbr(a0,b0,rQ)

(4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算，也可利用mnmn(a)nanam来计算；反过来，根式也可化成分数指数幂来计算。

（5）同样可规定ap(p0,p是无理数）的意义：

①

a表示一个确定的实数；

②

上述有理指数幂的运算性质，对于无理数指数幂都适用，有关念和证明从略；

③

指数概念可以扩充到实数指数（为下一小节学习指数函数作铺垫）。

（III）例题讲解（投影2）

p1－316－3100，（），（）4

例2．求值：8，481－2312分析：此题主要运用有理指数幂的运算性质。

1＝10－1＝；10解：

33（－）1－316－242－327－3（－2）（－3）（）＝（2－2）＝2＝26＝64；（）4＝（）4＝（）＝。4813388＝（2）＝233232323＝2＝4；100＝（10）＝1022－12－1212（－）2例3．用分数指数幂的形式表示下列各式：

a2a,a33a2,aa(式中a0)

分析：此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。

(a0,m,nN*,且n1) (ab)rarbr(a0,b0,rQ)

2.用分数指数幂表示下列各式（a>0,x>0）

5a2 14x x6x (a)3

（II）讲授新课

例1．计算下列各式（式中字母都是正数）

(1)(2ab)(6ab)(3ab); (2)(mn).

分析：（1）题可以仿照单项式乘除法进行，首先是系数相乘除，然后是同底数幂相乘除，并且要注意符号。（2）题先按积的乘方计算，后按幂的乘方计算，等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示，没有特别要求，就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求，可根据要求给出结果，但：

①

结果不能同时含有根式和分数指数；②不能同时含有分母和负指数；

③

根式需化成最简根式。

23121213165614388(1)(2ab)(6ab)(3ab)解：[2(6)(3)]a211326231212131656(2)(mn)14814388383b115236 (m)(n)33

4ab04a;m2mn3n

例2．计算下列各式：

(1)a2a3a2(a0); (2)(325125)45

分析：（1）题把根式化成分数指数幂的形式，再计算。

（2）题先把根式化成分数指数幂的最简形式，然后计算。

解：

a3a2

5

a66a5;例3．求值：

(1)a2a12232a12223(2)(25125)5(55)55555551254231432142134

34233214aa53124551255545.(1)526743642;(2)2331.5612

分析：（1）题需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质；

解：

(1)526743642(3)2232(2)222223(3)222222(2)2((32))2(23)2(22)2|32||23||22|3223(22)22注意：此题开方后先带上绝对值，然后根据正负去掉绝对值符号。113236(2)2331.5612＝23（）（32）212

＝2111－＋333111＋＋236＝23＝6要求：例3学生先练习，后讲评，讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。

（III）课堂练习

计算下列各式：

141－3（1）16－（）－（）162

4（2）[53()0]215要求：学生板演练习，做完后老师讲评。

（IV）课时小结

通过本节学习，要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值，并掌握一定的解题技巧，如凑完全平方、寻求同底幂等方法。

（V）课后作业

第二教材有关题目

123