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第三章

三角函数

知识网络：

解答题

1．已知函数f(x)＝sin xcos x＋sin2x，

π(1)求f()的值；

4π(2)若x∈[0，]，求f(x)的最大值及相应的x值．

2

.

π2．设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝，

8(1)求φ；

(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．

3．(2013·潍坊模拟)已知向量a＝(Asin ωx，Acos ωx)，b＝(cos θ，sin θ)，f(x)＝a·b＋1，ππ其中A＞0，ω＞0，θ为锐角．f(x)的图象的两个相邻对称中心的距离为，且当x＝时，f(x)212取得最大值3. (1)求f(x)的解析式；

(2)将f(x)的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g(x)的图象，若g(x)为奇函数，求φ的最小值．

典例探究：

例1（函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换）

(1)(2012·浙江高考)把函数y＝cos 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标

不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是(

) π4π(2)(2013·大连模拟)设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重33合，则ω的最小值是(

) 243A.

B.

C.

D．3 332变式训练1：

π(1)(2013·济南模拟)要得到函数y＝sin(2x－)的图象，只需将函数y＝sin 2x的图象(

) 3ππA．向左平移个单位

B．向右平移个单位

1212ππC．向左平移个单位

D．向右平移个单位

66π(2)(2013·青岛质检)将函数y＝sin(x－)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标3π不变)，再将所得图象向左平移个单位，则所得函数图象对应的解析式为(

) 31ππ11πA．y＝sin(x－)

B．y＝sin(2x－)

C．y＝sin x

D．y＝sin(x－) 236226例2（作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象）

已知函数f(x)＝cos2x－2sin xcos x－sin2x.

图3－4－2 (1)将f(x)化为y＝Acos(ωx＋φ)的形式；

(2)用“五点法”在给定的坐标中，作出函数f(x)在[0，π]上的图象．

π变式训练2：已知函数f(x)＝sin(2x＋)．

3(1)求函数y＝f(x)的单调递增区间；

(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．

【

例3（求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式）

(1)(2013·无锡模拟)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图3－4－3所示，则f(0)的值是________．

图3－4－3 ππ(2)(2013·厦门模拟)已知函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜)的部分图象如图3－4－4所示，62P、Q分别为该图象的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R的坐标为(2,0)．若∠2πPRQ＝，则y＝f(x)的最大值及φ的值分别是(

) 3图3－4－4 ππππA．23，

B.3，

C.3，

D．23，

6363变式训练3：

如图3－4－5是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋2(A＞0，ω＞0)的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是(

)

图3－4－5 4ππ4π3πA．A＝3，T＝，φ＝－

B．A＝1，T＝，φ＝

36344π3π4ππC．A＝1，T＝，φ＝－

D．A＝1，T＝，φ＝－

3436例4（三角函数模型的简单应用）

如图3－4－6为一个缆车示意图，该缆车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h. (1)求h与θ间关系的函数解析式；

(2)设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车到达最高点时用的最少时间是多少？

图3－4－6

变式训练4：

以一年为一个周期调查某商品出厂价格及该商品在商店的销售价格时发现：该商品的出厂价格是在6元基础上按月份随正弦曲线波动的，已知3月份出厂价格最高为8元，7月份出厂价格最低为4元，而该商品在商店的销售价格是在8元基础上按月份随正弦曲线波动的，并且已知5月份销售价最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设某商店每月购进这种

商品m件，且当月售完，请估计哪个月盈利最大？并说明理由．

10．已知函数f(x)＝2cos2x＋23sin x cos x－1. (1)求f(x)的周期和单调递增区间；

(2)说明f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样变化得到．

π11．(2013·杭州模拟)设x∈R，函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω＞0，－＜φ＜0)的最小正周期2π3为π，且f()＝. 42图3－4－11

(1)求ω和φ的值；

(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0，π]上的图象；

2(3)若f(x)＞，求x的取值范围．

2

12．已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)π图象的两相邻对称轴间的距离为. 2π(1)求f()的值；

8π(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原6来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．

例3:（三角变换的简单应用）

2π

(2012·安徽高考)设函数f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x. 24

(1)求f(x)的最小正周期；

ππ1(2)设函数g(x)对任意x∈R，有g(x＋)＝g(x)，且当x∈[0，]时，g(x)＝－f(x)，求g(x)222在区间[－π，0]上的解析式．