习题3.1优质课教案内容

3.1.1方程的根与函数的零点

教学设计

课前准备

1、教学内容分析

《方程的根与函数的零点》是人教A版必修一第三章《函数的应用》第一节的内容。必修一共分为三章，第一章介绍了函数的概念及性质，第二章引入了指、对、幂三种基本初等函数。本章是函数应用问题，主要分为两个层面：（1）数学学科内部应用，如方程的根与函数的零点的关系，可以通过函数方程思想，及数形结合思想，获得函数的零点的具体取值或零点所在的区间。零点存在性定理的引入，为一些超越方程的近似解提供了求解方案。（2）生活中的应用。通过建立函数模型来解决相应问题，使之前一、二章所学内容与生活紧密联系起来，感受数学在生活中的重要性。

本节课根据学生已经掌握的函数的知识，从初中一元二次方程与二次函数关系的具体学习，过渡到了高中一般方程与其相应函数关系的抽象研究，得出了函数零点的概念。进一步，通过对函数零点所在区间的判断，引入了零点存在性定理，是一节概念课。本节课不仅揭示了方程与函数之间的本质联系，并且以“函数与方程”为理论基础，为“二分法求方程的近似解”做了铺垫，起到了承前启后的作用。

2、学情分析

首先，泥河中学2016级高一学生，基础比较差，所以我们一直是采用“低起点，小步子，重基础”的策略，所以很多问题我们讲的比较仔细，比较基础；其次，经过开学初衔接教材的学习和必修1前面二章的学习，学生已经了解了函数的概念、性质，以及一些基本初等函数的模型，可以做出一些函数图象，具备一定的读图识图能力，这为本节课提供了一定的知识基础；另外，但是针对高一学生，他们的思维习惯、动手作图能力以及观察、归纳、转化等能力都还不强，在本节课的学习上还是会遇到一些困难，尤其是在本节的难点：零点存在性定理的学习上，由于零点存在性定理是高等数学下放的一个内容，有的知识要到学高等数学才能解决，所以不必挖掘过深。让学生从特殊到一般，从具体到抽象，同时利用反例促成对定理本质的理解，突破学习难点。

所以在本节课的教学设计中，注重了从具体的、简单的知识出发，经过逐层推广，师生共同探究，获得了一般性的结论的过程。

一、教学目标：

1、理解函数零点的定义；

2、掌握零点存在区间的判断方法；

3、在学习的过程中，体会函数方程思想及数形结合思想的应用；

4、感受学习、探索、发现的乐趣。

二、教学重点：

函数零点与方程实数根之间的联系，初步形成利用函数方程思想处理问题的意识。

三、教学难点：

理解函数零点存在的判定条件。

四、教学策略：

1、教学方法的选定

（1）在教学中，体现以学生为主体的教学方法.在教学手段上，合理利用了多媒体，发挥了教师的主导作用，充分调动学生学习的主动性，让学生真正成为教学活动的主体。

（2）在零点概念的教学上，我充分利用了

“由特殊到一般”的教学方法，以具体的二次方程与相应二次函数的关系为载体，引出了函数与方程的关系，并将其进行了推广。而在零点存在性定理的教学中，我主要采用了“启发－探究－讨论”的模式。

2、突破重、难点的策略

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对于函数零点概念的引入，学生从解决熟悉的问题的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系，把函数零点的概念作为解决课堂探究问题的过程性知识，可以让学生的探究更自主，思维活动更充分。

五、教学过程

教学活动

教师活动

给出具体的三个一元方程及相应的二次函数填表.提出问题：方程的根与函数的图象有什么联系？通过追问，引导学生准确回答二者的关系。

继续追问：上述结论是否可以推广到一般的一元二次方程与二次函数关系上？

再次追问：上述结论是否可以推广到一般方程与函数的关系上？

1.零点的定义

2.零点求法：（1）代数法

（2）图像法

2练习：1、函数f(x)=x(x－4)

的零点为

（ D ）

A．(0，0)，(2，0)

B．0，2

C．(–2，0)，(0，0)，(2，0)

通过练习的设置，加D．–2，0，2

深对定义的理解。求解过22、函数f(x)=x-2x+a有两个让学生参与独立完成，程体现了函数方程思想及不同的零点，

然后提问。可以补充练习。

数形结合思想. 则实数a的范围是______。

让学生独立完成，提问学生A、B、C，教师点评。

学生活动

设计意图

创设情境，提出问题体会方程的根与函数图象的联系，为零点概念的引学生积极思考，认真填出做好铺垫。

表，回答出方程的根与函数

图象和x轴交点的横坐标相

等。

由特殊到一般，感受

零点产生的过程，使零点学生思考，类比，归纳。

不再抽象，而是更加具体形象，便于零点概念的理解。

概念引入概念应用

理解、归纳

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师生共同探究零点存在性定理：

提出问题：

在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？ 2观察二次函数f(x)＝x－2x－3的图象：

在区间[-2，1]上有零点______；

f(-2)=_______，f(1)=_______，

f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．

在区间[2，4]上有零点______；

f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）。

推广：观察函数的图象并填空: ①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)。

在区间(a,b)上______(有/无)零点；

②

在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．

在区间(b,c)上______(有/无)零点；

③

在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)．

在区间(c,d)上______(有/无)零点；

函数零点存在性定理：

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。

关键词：

①连续不断

②

f(a)·f(b)<0

③存在c∈(a,b)，使得f(c)=0

各小组积极参与，并派代表

到前面总结，在讨论过程中，

不断的质疑，产生思维的火

花，使学生成为课堂的主体。

通过具体问题的探究，为零点存在性定理讨论的引出进行了铺垫。

练习：

判断正误：

1）已知函数y=f (x)在区间

[a,b]上连续，且f

(a) ·f(b) < 0，则f(x)在 区间(a,b)内有且仅有一个由特殊到一般，学生零点。

（ ）

很容易找到问题讨论的切（2）已知函数y=f (x)在区入点。

间[a,b]上连续，且f

(a) ·f(b) ≥0，则f(x)在

区间(a,b)内没有零点。

（ ）

（3）已知函数y=f (x)在区

间[a,b]上连续且在区间通过以上学生们的讨(a,b)内存在零点.，则f(x)论，使得零点存在性定理必满足f (a) ·f(b) < 0。

的生成水到渠成。

（4）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续的单调函数且满足

f (a) ·f(b) < 0，则函数y=f (x)区间(a,b)上有且仅有一个

零点。 对于零点存在性定理的理解可以通过练习加强。不要挖得过深。

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定理应用

例1 判断函数f(x)=lnx+2x－

6的零点的个数。

解法一：

解法二：（根据时间是否允许，适当展开）

.

学生积极思考，师生共同完成，并利用投影讲解答题过程。

反馈、巩固、加强。

反思总结

引导学生回顾整个探究过程，生成数学知识：一个定义、一种关系、一个定理、两种数学思想方法。

让学生参与总结。

反思总结核心任务是归纳，加深和提升对知识的认识和理解，让学生知道我这节课到底学了什么；体会获取知识的乐趣，让学生快乐学习，健康成长！

布置作业

1.必做题：课本P88的练习1，2。

2.思考题：方程lnx+2x－6=0在进一步巩固提高，激发区间______内有解，如何求出这学生学习热情。

个解的近似值？

请预习下一节。

板书设计

§3.1.1

方程的根与函数的零点

一、零点

1.定义

2.等价关系

3.零点的求法：代数法、图像法

二、零点存在性定理

教学反思：

三、例题解析

例1

课堂小结：

备课人：泥河中学数学组

杨新生

2016年11月1日

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