习题2.2优质课教案

指数函数及其性质(1)

学习目标：1．了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系．

2．理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指

数函数的单调性和特殊点．

3．在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般

的过程、数形结合的方法等．

重点：指数函数的概念和性质。

难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质。

教学过程：

一、新课引入

引例1：某种细胞分裂时，由1个细胞分裂成2个，2个分裂成4个，……,一个这样的细胞分裂

x 次后，得到的细胞个数y与分裂次数x有怎样的函数关系？

引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数关系式？

列表：

x y 1 2 3 4 5 6 0.85

0.852

0.853

0.854

0.855

0.856

思考：由上面的对应关系可知，函数关系是：y0.85x

在y2x和y0.85x中指数x是自变量，底数是一个大于0且不等于1的常量. 我们把这种自变量在指数位置上而底数是一个大于0且不等于1的常量的函数叫做指数函数.

二、探索新知

（一）指数函数的定义

指数函数的定义：函数yax(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。

探究1：为什么要规定a>0,且a1呢？

(1)当a＜0时，如y＝(2)，当x＝x

0 1 

a x11

，

，…等时，在实数范围内函数值不存在；

24(2)当a＝0时，若x≤0，y=0无意义；

(3)当a＝1时，y＝1＝1是一个常数，没有讨论的必要．

探究2：函数y23是指数函数吗？

指数函数的解析式y=a中，a的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，

1 xxxx

如yaxk（a>0且a1,kz）

有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如

yax(a0,且a1)因为它可以

111化为y(0,且1)

aaa练习1：下列函数是否是指数函数：

(1) y0.2x+1

(2) yx

(3) y(2)x

(4) y3x

(5) y1x

(6) y54x

(7)y22x1

答案：

（2），

（4）是指数函数。

点评：一个函数是指数函数，需满足三个条件：

①

底数大于0且不等于1；

②幂指数是单一的自变量x；

③系数为1，且没有其他项．

题型一、指数函数概念的理解和应用

例1：函数y＝(a－3a＋3)a是指数函数，则有

(

) A．a＝2

B．a＝1

C．a＝1或a＝2

D．a＞0且a≠1 解析：由a－3a＋3＝1，解得：a＝1或a＝2，但a≠1，则a＝2. 答案：A 例2．指数函数y＝f(x) 的图象经过点(2,4)，那么f(2)·f(4)的值为

(

) A．64

B．256

C．8

D．16 解析：设y＝a则4＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2，即f(2)·f(4)＝4×16＝64. 答案：A

（二）指数函数的图象，性质

1.用描点法作函数y2x和y3x的图象.

x

…

-3

1/8

-2

1/4

-1

1/2 1/3

0

1

1

1

2

3

2

4

9

3

8

27

…

…

x2xx2x2y2x

…

y3x

…

1/27

1/9

2.用描点法作函数y()和y()的图象.

x

…

-3

8

27

-2

4

9

-1

2

3

0

1

1

1

1/2

1/3

2

1/4

3

1/8

…

…

12x13x1y()x

…

21y()x

…

3

1/9

1/27

…

2

观察右边图象，回答下列问题：

问题一：

图象分别在哪几个象限？

答：四个图象都在第___Ⅰ、Ⅱ___象限。

问题二：

图象的上升、下降与底数a有联系吗？

答：当底数_____a>1______时图象上升；

当底数_____0

问题三：

图象中有哪些特殊的点？

答：四个图象都经过点_____(0,1)______．

问题四：

指数函数y()图像是否具有对称性？

答：不关于Y轴对称不关于原点中心对称

问题五：

函数y3x与y()图象有什么关系

？

答：关于Y轴对称

3.指数函数的图象和性质

a>1

0

12x13x

图

象

3

（三）指数函数性质的应用

题型二、指数函数性质的应用

1．设y1＝40.9，y2＝40.44，y3＝40.5，则有

(

) A．y3＞y1＞y2

B．y2＞y1＞y3

C．y1＞y2＞y3

D．y1＞y3＞y2

解析：∵y＝4

在(－∞，＋∞)上为增函数，∴y1＞y3＞y2. 答案：D 变式：比较

1.70.3x与

0.93.1

的大小. 2．函数f(x)＝12x的定义域是

(

) A．(－∞，0)

B．[0，＋∞)

C．(－∞，0]

D．(－∞，＋∞) 解析：由1－2≥0，得2≤1，由指数函数y＝2的性质可知：x≤0. 答案：C x变式：求下面函数的定义域f(x)1a(a0,a1)

xxx(四)能力提高: 2xax是R上的偶函数（1）求a的值，1.设a>0,f(x)= （2）证明f(x)在(0, )上是增函数

a2小结：

1.指数函数的定义：

函数ya(a0且a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数定义域是R。

2.指数函数的的图象和性质：

方法:利用函数图像研究函数性质是一种直观而形象的方法，记忆指数函数性质时可以联

想指数函数的图像。

x

4