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第一章

集合与函数概念

数学·必修1(人教A版)

一、集合

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合．

(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A.

(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．

确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．

互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素．

无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关．

(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{

}内．

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{

}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．

特别关注：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．

(4)常用数集及其记法．

非负整数集(或自然数集)，记作N；

正整数集，记作N*或N＋；

整数集，记作Z；

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集合与函数概念

有理数集，记作Q；

实数集，记作R.

2．集合的包含关系．

(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集(或B包含A)，记作A⊆B(或B⊇A)．

集合相等：构成两个集合的元素完全一样．若A⊆B且B⊆A，则称A等于B，记作A＝B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作AB.

(2)简单性质：①A⊆A；②∅⊆A；③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；④若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2n－1个真子集)．

3．全集与补集．

(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U. (2)若S是一个集合，A⊆S，则∁SA＝{x|x∈S且x∉A}称S中子集A的补集．

(3)简单性质：

①∁S(∁SA)＝A；②∁SS＝∅；③∁S∅＝S.

4．交集与并集．

(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．

(2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．

特别关注：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．

5．集合的简单性质．

(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；

(2)A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；

(3)(A∩B)⊆(A∪B)；

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集合与函数概念

(4)A⊆B⇔A∩B＝A；A⊆B⇔A∪B＝B；

(5)∁S(A∩B)＝(∁SA)∪(∁SB)，

∁S(A∪B)＝(∁SA)∩(∁SB)．

二、函数

1．函数的概念．

设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．

特别关注：(1)“y＝f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”；

(2)函数符号“y＝f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.

2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：

①自然型．指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，等等)．

②限制型．指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误．

③实际型．解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考查自变量x的实际意义．

(2)求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题：①配方法(将函数转化为二次函数)；②判别式法(将函数转化为二次方程)；③不等式法(运用不等式的各种性质)；④函数法(运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等)．

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集合与函数概念

3．两个函数的相等．

函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．

4．区间．

(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；

(2)无穷区间；

(3)区间的数轴表示．

5．映射的概念．

一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”．

函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这样的对应就叫映射．

特别关注：(1)这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．

(2)“都有唯一”什么意思？

包含两层意思：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．

6．常用的函数表示法．

(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．

(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．

(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．

7．分段函数．

若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．

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集合与函数概念

8．复合函数．

若y＝f(u)，u＝g(x)，x∈(a，b)，u∈(m，n)，那么y＝f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域．

三、函数性质

1．奇偶性．

(1)定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．

特别关注：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；

②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．

(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤：

①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．

②确定f(－x)与f(x)的关系．

③作出相应结论：

若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；

若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．

(3)简单性质．

①图象的对称性质：一个函数是奇函数则它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数则它的图象关于y轴对称．

②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：

奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，

偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

2．单调性．

(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数)．

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集合与函数概念

特别关注：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]．

(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．

(3)设复合函数y＝f[g(x)]，其中u＝g(x)，A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g：x→u＝g(x)的象集：

①若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，y＝f(u)在B上也是增(或减)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数．

②若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，而y＝f(u)在B上是减(或增)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数．

(4)判断函数单调性的方法步骤．

利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：

①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；

②作差f(x1)－f(x2)；

③变形(通常是因式分解和配方)；

④定号[即判断差f(x1)－f(x2)的正负]；

⑤下结论[即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性]．

(5)简单性质．

①奇函数在其对称区间上的单调性相同．

②偶函数在其对称区间上的单调性相反．

③在公共定义域内：

增函数f(x)＋增函数g(x)是增函数；

减函数f(x)＋减函数g(x)是减函数；

增函数f(x)－减函数g(x)是增函数；

减函数f(x)－增函数g(x)是减函数．

3．最值．

(1)定义．

最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．

最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M

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集合与函数概念

满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)是最小值．

特别关注：①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)＝M. ②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M[f(x)≥M]．

(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法．

①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值．

②利用图象求函数的最大(小)值．

③利用函数的单调性判断函数的最大(小)值：

如果函数y＝f(x)，x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)．

如果函数y＝f(x)，x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．

集合中元素个数的计算

设card(X)表示有限集X所含元素的个数，则

①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，

特别地，当A∩B＝∅时，card(A∪B)＝card(A)＋card(B)；

②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．

某班有36名同学分别参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26,15,13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．

解析：由条件知，每名同学至多参加两个小组，故不可能出现一名同学同时参加数学、物理、化学课外探究小组，设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，则card(A∩B∩C)＝0，card(A∩B)＝6，card(B∩C)＝4.

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集合与函数概念

由公式：card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)，

知36＝26＋15＋13－6－4－card(A∩C)，

故card(A∩C)＝8. 即同时参加数学和化学小组的有8人．

答案：8

►跟踪训练

1．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为(

) A．mn个

B．m＋n个

C．n－m个

D．m－n个

解析：因为A∩B＝(A∪B)－(∁UA)∪(∁UB)，所以A∩B共有m－n个元素，选D. 答案：D

2．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______人．

解析：设两者都喜欢的人数为x人，则只喜爱篮球的有(15－x)人，只喜爱乒乓球的有(10－x)人，由此可得(15－x)＋(10－x)＋x＋8＝30，解得x＝3，所以15－x＝12.即所求人数为12人．

答案：12

集合中的简单推理

1．若a∈A，则a∉∁UA；若a∈∁UA，则a∉A. 2．若a∈A∩B，则a∈A且a∈B. 3．设a

x|a≤x≤b}⇔a≤x≤b.

已知A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，且A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，则A＝(

)

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集合与函数概念

A．{1,3}

B．{3,7,9}

C．{3,5,9}

D．{3,9}

解析：∵A∩B＝{3}，(∁UB)∩A＝{9}，且B∪(∁UB)＝U，∴A＝{3,9}．选D. 本题也可以用Venn图(如下图)帮助理解并解决问题．

答案：D

►跟踪训练

3．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.

解析：∵3∈A∩B，∴3∈B.又a2＋4>3，故由a＋2＝3, 解得

a＝1. 答案：1

有关集合的新定义问题

有关集合的新定义问题，高考中常见的有两类题型：一是定义集合的新概念，二是定义集合的新运算．

一、定义集合的新概念

对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是_____________(写出所有凸集相应图形的序号)．

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集合与函数概念

解析：由题中凸集的定义，观察所给图形知，①④不是凸集，而②③满足条件，是凸集．

答案：②③

二、定义集合的新运算

在集合{a，b，c，d}上定义两种运算

a b c d

a b c d

那么A．a

B．b

C．c

D．d

A. 答案：A a a a a a ( ) b a b c d c a c c a d

A

D

A

D

a a b c d b b b b b c c b c b d

d

b

b

d

和如下：

解析：由上表可知：(ac)＝c，故d○*(ac)＝d○*c＝a，选

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集合与函数概念

►跟踪训练

4．设P是一个数集，且至少含有两个数．若对任意a，b∈P，a都有a＋b、a－b，ab、b∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列结论：

①数域必含有0,1两个数；

②整数集是数域；

③若有理数集Q⊆M，则M必为数域；

④数域必为无限集．

其中正确的结论的序号是__________(把你认为正确结论的序号都填上)．

abab解析：设a，b∈数域P，按照定义得b∈P，从而b·a∈P，a＝1∈P.又a，b∈P，则a＋b∈P，a－b∈P，b－a∈P，从而0＝(a－b)＋(b－a)∈P，于是数域必含有0,1两个数；因此①正确；以此类推下去，1可知数域必为无限集，④正确．②对除法如∉Z不满足，所以排除；21③取M＝Q∪{2}，1，2∈M，但对除法∉M. 所以①④正确．

2答案：

①④

集合的子集个数

设集合M有N个元素，那么集合M的所有子集共有2n个，集合M的所有真子集共有2n－1个，集合M的所有非空真子集共有2n－2个．

若集合M＝∅，显然M的所有子集共有1个；若集合M只有一个元素，即M＝{a1}，M的所有子集分别是∅和M＝{a1}，所有子集共有2个；设集合M含有n－1个元素，

M的所有子集共有Mn－1个，当集合M含有n个元素时，不妨设M＝{a1，a2，a3，…，an－1，an}，M的所有子集共分为两类：一类是不含an的子集，即{a1，a2，a3，…，an－1}的子集，共有Mn－1个，另一类是含an的子集，只需将an添加到{a1，a2，a3，…，an－1}的所有子集中去，便得到含an的所有子集，显然也有Mn－1个，故Mn＝2 Mn－1.由此可知，

M1＝2 M0＝

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集合与函数概念

2, M2＝2 M1＝4, M3＝2 M2＝8，…，Mn＝2 Mn－1＝2n.

设M为非空的数集，M⊆{1,2,3}，且M中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M共有(

) A．6个

B．5个

C．4个

D．3个

解析：集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8个，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M共有8－2＝6个．

答案：A

满足A⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A的个数是________个．

解析：集合{3,4,5}的所有非空真子集共有23－1＝7个，满足要求的集合A就是这7个真子集与集合{0,1,2}的并集，故满足要求的集合A共有7个．

答案：7

►跟踪训练

5．已知集合A＝{1,2,3,4}，那么A的真子集的个数是(

) A．3个

B．4个

C．15个

D．16个

答案：C

6．已知集合M＝{0,1}，则满足M∪N＝{0,1,2}的集合N的个数是(

) A．2个

B．3个

C．4个

D．8个

答案：C

函数的概念、表示及其应用

对于函数的概念及其表示要注意：

1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．

2．定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．

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集合与函数概念

3．求抽象函数定义域的方法：

(1)已知f(x)的定义域为[a，b]，求f[g(x)]的定义域，就是求不等式a≤g(x)≤b的解集；

(2)已知f[g(x)]的定义域为[a，b]，求f(x)的定义域，就是求当x∈[a，b]时，g(x)的值域．

4．求函数解析式的常用方法：

(1)凑配法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)构造法．

5．求函数值域的方法：

(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法．

随着学习的深入，我们会有更多的求值域的方法．

设x≥0时，f(x)＝2，x＜0时，f(x)＝1，又规定g(x)＝3fx－1－fx－2(x＞0)，试写出y＝g(x)的表达式，画出其图象．

2

分析：对于x＞0的不同区间，讨论x－1与x－2的符号可求出g(x)的表达式．

解析：当0＜x＜1时，x－1＜0，x－2＜0，

3－1∴g(x)＝＝1；

2当1≤x＜2时，x－1≥0，x－2＜0，

6－15∴g(x)＝＝；

22当x≥2时，x－1＞0，x－2≥0. 6－2∴g(x)＝＝2. 2

10＜x＜1，5故g(x)＝21≤x＜2，2x≥2.

第一章

集合与函数概念

其图象如右图所示．

点评：此题要注意分类讨论，做题时要分段求解析式．意端点的取舍．

►跟踪训练

7．求下列函数的定义域．

(1)f(x)＝x＋2x－1；

解析：(1)∵x－1≠0，∴x≠1，

∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．

(2)f(x)＝4－xx－1；

解析：∵4－x≥0，x≤4，x－1≠0，

∴x≠1.

∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1,4]．

(3)f(x)＝x－1＋1－x；

解析：∵x－1≥0，x≥1－x≥0，

∴1，x≤1.

∴x＝1，∴函数的定义域是{1}．

画图要注

第一章

集合与函数概念

1(4)f(x)＝x＋x＋1＋2. x－2x＋1

解析：∵x2＋x＋1的判别式Δ＝12－4×1×1＝－3＜0，

∴x2＋x＋1＞0对一切x∈R恒成立，

∴函数的定义域由x2－2x＋1≠0确定，

由x2－2x＋1≠0，得x≠1. ∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．

点评：求函数的定义域要注意使函数解析式中每个式子都有意义，有时需解不等式组．

函数的单调性、奇偶性及其应用

1．判断函数单调性的步骤：

(1)任取x1，x2∈D，且x1＜x2；

(2)作差f(x1)－f(x2)；

(3)变形(通分、配方、因式分解)；

(4)判断差的符号，下结论．

2．求函数单调性要先确定函数的定义域．

3．若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数．

4．复合函数y＝f[g(x)]的单调性遵循“同增异减”的原则．

5．奇函数的性质：

(1)图象关于原点对称；

(2)在关于原点对称的区间上单调性相同；

(3)若在x＝0处有定义，则有f(0)＝0.

6．偶函数的性质：

(1)图象关于y轴对称；

(2)在关于原点对称的区间上单调性相反；

(3)f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．

2

第一章

集合与函数概念

7．若奇函数f(x)在[a，b]上有最大值M，则在区间[－b，－a]上有最小值－M.

已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x|x－2|，求f(x)在R上的表达式．

解析：(1)当x＝0时，∵f(x)是奇函数，

∴f(－0)＝－f(0)，∴f(0)＝0. (2)当x＜0时，－x＞0. ∴f(－x)＝－x|－x－2|＝－x|x＋2|. 又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，

∴－f(x)＝－x|x＋2|，

∴f(x)＝x|x＋2|. 综上可知，f(x)在R上的表达式为

x|x－2|x＞0，f(x)＝0x＝0，x|x＋2|x＜0.

点评：解决本题的关键在于通过区间的过渡，将(－∞，0)上的变量转换到(0，＋∞)上，从而利用函数的奇偶性和函数在(0，＋∞)上的解析式求出函数在(－∞，0)上的解析式，但不要忘记f(x)为奇函数且x∈R时，f(0)＝0.

►跟踪训练

8．设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．

(1)证明：f(x)是偶函数；

解析：(1)证明：∵f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

(2)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；

解析：当x≥0时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2；当x＜0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.

第一章

集合与函数概念

2x－1－2，x≥0，∴f(x)＝

2x＋1－2，x＜0.

根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示．

函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)，[0,1)上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数

(3)求函数的值域．

解析：由图象可知，函数值域为[－2,2]．

点评：利用函数的奇偶性，可以作出相应的图象．

9．若f(x)是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f(3)＝0，则xf(x)＜0的解集是(

) A．{x|－3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜－3或0＜x＜3} C．{x|x＜－3或x＞3} D．{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}

解析：因为f(x)在(0，＋∞)内是增函数，f(3)＝0，所以当0＜x＜3时，f(x)＜0；当x＞3时，f(x)＞0，又因f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以当－3＜x＜0时，f(x)＞0；当x＜3时，f(x)＜0，可见xf(x)＜0的解集是{x|－3＜x＜0或0＜x＜3}．

答案：D

第一章

集合与函数概念

分段函数的应用

分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的函数．在求分段函数的有关问题时，要根据自变量的所在范围，选择相应的解析式进行研究．

分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的取值范围的并集．

分段函数的性质往往要结合函数图象进行判断研究．

分段函数解析式的确定一定要分类讨论，根据不同情形分别确定．

某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．

(1)写出飞机票的价格关于人数的函数．

(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？

解析：(1)设旅行团人数为x人，由题知0

900，0

10，30

900，0

1 200－10x，30

(2)设旅行社获利为S元，

900x－15 000，0

x1 200－10x－15 000，30

2－10x－60＋21 000，30

因此，当x＝60时，旅行社可获得最大利润．

►跟踪训练

第一章

集合与函数概念

1，x∈[0，1]，10．函数f(x)＝若f[f(x)]＝3－x，x∈－∞，0∪1，＋∞，

1，求x的取值范围．

解析：f[f(x)]＝1等价于①f(x)∈[0,1]或②3－f(x)＝1. ①式又等价于x∈[0,1] 3－x∈[0，1]，或

x∈－∞，0∪1，＋∞；②式又等价于3－x＝2. 解得x的取值范围是[0,1]∪[2,3]．

11．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力，x表示提出概念和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：

f(x)＝5910

(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？

解析：易知在前10分钟学生的接受能力一直增强，所以开讲后10分钟学生的接受能力最强，此时达到59；而从16分钟后开始，学生的接受能力一直从59下降，故能维持6分钟．

第一章

集合与函数概念

(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？

解析：因为开讲后5分钟学生的接受能力为－0.1×25＋13＋43＝53.5，开讲后20分钟学生的接受能力为－3×20＋107＝47，所以学生在开讲后5分钟接受能力强一些．

(3)一个数学难题需要55的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？

解析：因为易求得从第6分钟开始学生的接受能力开始达到55，52一直维持到第分钟时开始从55下降，所以能保持接受能力为5535234的时间为－6＝<13，因为讲这个数学难题需要55的接受能力和3313分钟，因此老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．

研究抽象函数的性质

抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以常见函数为背景，通过代数表述给出函数性质．

处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段．也是解决这类问题的主要方法．

已知定义域为R

＋

的函数f(x)，同时满足下列条件：

1①f(2)＝

1，f(6)＝；

5②f(x·y)＝f(x)＋f(y)．

求f(3)、f(9)的值．

解析：取x

＝

2，y

＝

3，得f(6)＝f(2)＋f(3)，

第一章

集合与函数概念

14∵f(2)＝

1，f(6)＝，∴f(3)＝－. 558又取x

＝

y

＝

3，得f(9)＝f(3)＋f(3)＝－. 5点评：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取x＝2，y＝3，这1样便把已知条件f(2)＝

1，f(6)＝与欲求的f(3)沟通了起来．这是解5此类问题的常用技巧．

►跟踪训练

12．已知定义域为R的函数f(x)满足f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x. (1)若f(2)＝3，求f(1)；又若f(0)＝a，求f(a)；

解析：因为对任意x∈R，

有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，

所以f[f(2)－22＋2]＝f(2)－22＋2. 又由f(2)＝3得f(3－22＋2)＝3－22＋2，

即f(1)＝

1. 若f(0)＝a，则f(a－02＋0)＝a－02＋0，

即f(a)＝

a.

(2)设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，求函数f(x)的解析表达式．

解析：因为对任意x∈R，有f[f(x)－x2＋x]＝f(x)－x2＋x，

又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)＝x0，所以，对任意x∈R，有f(x)－x2＋x＝x0，

在上式中令x

＝x0，有f(x0)－x20＋x0＝x0，

又因为f(x0)＝x0，所以x0－x20＝

0，故x0＝

0或x0＝1. 若x0＝

0，则f(x)－x2＋x＝

0，即f(x)＝x2－x. 但方程x2－x

＝

x有两个不同实根，与题设矛盾，故x0≠0. 若x0＝

1，则有f(x)－x2＋x＝

1，即f(x)＝x2－x＋1. 易验证该函数满足题设条件．

综上可知，所求函数为f(x)＝x2－x＋1(x∈R)．

第一章

集合与函数概念

二次函数的图象与性质

二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中有三个参数a，b，c. 解题时常常需要通过三个独立条件“确定”这三个参数.

二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图象特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观．

b二次函数的图象关于直线x＝－对称，

设二次函数的图象与x2ab轴的两个交点的横坐标为x1，x2，则x1＋x2＝－a也反映了二次函数的一种对称性．

将二次函数的一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)进行配方可得二次函b24ac－b2数的顶点式：y＝ax＋2a＋，由此可知函数的对称轴、最值4a及判别式．

b2a≠0－∞，－二次函数f(x)＝ax＋bx＋c()在区间2a和区间b－，＋∞上分别单调，所以二次函数f(x)在闭区间上的最大值、2a最小值必在区间端点或顶点处取得．

某公司有价值a万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y万元与技术改造投入x万元之间的关系满足：

①y与a－x和x的乘积成正比；

a②x＝时y＝a2；

2x③0≤≤t，其中t为常数，且t∈[0,1]．

2a－x

(1)设y＝f(x)，求出f(x)的表达式，并求出y＝f(x)的定义域；

(2)求出附加值y的最大值，并求出此时的技术改造投入的x的值．

第一章

集合与函数概念

a解析：(1)设y＝k(a－x)x，由x＝时y＝a2，可得k＝4，∴y＝4(a2－x)x. 2at∴定义域为0，1＋2t，t为常数，t∈[0,1]．

a2＋a2，

x－(2)y＝4(a－x)x＝－422ata1a当≥时，即≤t≤1，x＝时，ymax＝a2；

221＋2t22at2ata10，上为增函当<时，即0≤t≤时，y＝4(a－x)x在1＋2t221＋2t数．

2at8a2t∴当x＝时，ymax＝

. 1＋2t1＋2t21a∴当≤t≤1时，投入x＝时，附加值y最大为a2万元；

2212at8a2t当0≤t<时，投入x＝时，附加值y最大为万元．

21＋2t1＋2t2

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13．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，则(

) A．m＝－2

B．m＝2 C．m＝－1

D．m＝1 mm解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－，于是－＝122⇒m＝－2. 答案：A

第一章

集合与函数概念

14．设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(

)

解析：当a＞0时，b、c同号，C、D两图中c＜0，故b＜0，－b＞0，选项D符合．当a<0时，同理可排除A、B. 2a答案：D

点评：根据二次函数图象开口向上或向下，分a>0或a<0两种情况分类考虑．另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．

15．函数y＝ax2－2(a－1)x＋2 (a≠0)在区间(－∞，

4]上递增，那么实数a的取值范围是(

) 11A．a≥－

B．－≤a<0 331C．a≤－

D．a<0 3答案：B

16．函数f (x)＝(a－1)x2＋2ax＋3为偶函数，那么f(x)在(－5, －2)上是(

)

A．增函数

B．减函数

C．先减后增

D．先增后减

答案：A

第一章

集合与函数概念

17．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形．要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为________．

1－x解析：设正方形周长为x，则圆的周长为1－x，半径r＝. 2π21－x2x2x∴S正＝4＝，S圆＝π·. 164π2π＋4x2－8x＋4∴S正＋S圆＝(0＜x＜1)．

16π4∴当x＝时有最小值．

π＋44答案：

π＋4