复习参考题优秀获奖教案

《函数与方程的应用》复习参考题

教学目标

知识目标: (1)了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．能够用二分法求相应方程的近似解．

(2) 了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征．了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用．

能力目标：培养学生观察、分析与推理、从特殊到一般的探究能力。

情感目标：渗透数学思想和文化，激发学生学习兴趣和热情，获得积极的情感体验。

教学重点

:

函数的零点与方程根的联系，用二分法求相应方程的近似解

教学难点

:

函数模型的广泛应用。

教学方法: 启发、引导、探究、讲解、演练相结合。

教学过程:

◆

教材通关

◆

1．函数的零点

(1)函数的零点的概念(2)函数的零点与方程的根的关系(3)零点存在性定理

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

二次函数

y＝ax2＋bx＋c

(a>0)的图象

与x轴的交点

零点个数

(x1,0)，

(x2,0)

两个

(x1,0)

一个

无交点

零个

Δ>0

Δ＝0

Δ<0 3.指数、对数、幂函数模型性质比较

函数

性质

在(0，＋∞) 上的增减性

增长速度

图象的变化

值的比较

y＝ax

(a＞1)

单调递增

越来越快

随x的增大逐渐表现为与y轴平行

y＝logax

(a＞1)

单调递增

越来越慢

随x的增大逐渐表现为与x轴平行

y＝xn

(n＞0) 单调递增

相对平稳

随n值变化而各有不同

存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax

[小题诊断]

x2＋x－2，x≤0，1．函数f(x)＝－1＋ln x，x＞0

的零点个数为(

) A．3

B．2

C．7 D．0 2．(2018·豫南十校联考)函数f(x)＝x3＋2x－1的零点所在的大致区间是(

) A．(0,1)

B．(1,2)

C．(2,3)

D．(3,4) 3．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是(

) 111A．0,2

B．0，

C．0，－

D．2，－

22264．(2018·烟台模拟)已知函数f(x)＝－log2x.在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(

) xA．(0,1)

C．(2,4)

B．(1,2) D．(4，＋∞) 1x5．函数y＝|log2x|－2的零点个数是(

) A．0

C．2

B．1 D．4 6．(2018·枣庄模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.

◆

互动探究

◆

（一）

函数的零点

角度一

函数零点个数的判断

1．函数f(x)＝3x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(

) A．0

C．2

答案：B πx－x－2sin x－|ln(x＋1)|的零点个数为________．

2．函数f(x)＝4cos2cos22

函数零点个数的3种判断方法

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)B．1 D．3

＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.

角度二

函数零点所在区间的判定

113．(2018·太原模拟)函数f(x)＝ln x＋x－－2的零点所在的区间是(

) 2x1A.e，1

C．(2，e)

答案：C 角度三

已知方程根或函数零点求参数范围

|x|，x≤m，4．(2016·高考山东卷改编)已知函数f(x)＝2其中m＞0.若存在实x－2mx＋4m，x＞m，B．(1,2) D．(e,3)

数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，求m的取值范围．

已知函数有零点(方程有根)求参数取值范围的3种常用的方法

(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．

(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.

[即时应用]

1．(2018·大连模拟)已知偶函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x)＝x2－3x(x≥0)，若函数g(x)＝logx，x＞0，21－x，x＜0，A．1

C．2

则y＝f(x)－g(x)的零点个数为(

) B．3 D．4

2．设函数f(x)的零点为x1，g(x)＝4x＋2x－2的零点为x2，若|x1－x2|≤0.25，则f(x)可以是(

) A．f(x)＝x2－1

C．f(x)＝ln(x＋1)

B．f(x)＝2x－4 D．f(x)＝8x－2

x2－2a，x≤0，3．(2017·承德模拟)若函数f(x)＝2有三个不同的零点，则实数a的取x－4ax＋a，x＞0

值范围是(

) 111111，＋∞

B.，

C．(－∞，0)∪，D．(－∞，0)∪，＋∞

A.242424（二）

二次函数的零点

[典例]

已知f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．

解决与二次函数有关的零点问题的3个策略

(1)可利用一元二次方程的求根公式．

(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系．

(3)利用二次函数的图象列不等式组.

[即时应用]

已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m的取值范围．

（三）

函数模型及应用

[典例]

(2018·长春模拟)一种药在病人血液中的含量不低于2克时，它才能起到有效治疗的作用，已知每服用m(1≤m≤4且m∈R)克的药剂，药剂在血液中的含量y(克)随着时间x(小时)变化的函数关系式近似为y＝m·f(x)，其中f(x)＝x4－2，6≤x≤8.(1)若病人一次服用3克的药剂，则有效治疗时间可达多少小时？

10，0≤x＜6，4＋x

(2)若病人第一次服用2克的药剂，6个小时后再服用m克的药剂，要使接下来的2小时中能够持续有效治疗，试求m的最小值．

解决应用问题的基本步骤

(1)审题

弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系，恰当选择模型；

(2)建模

将文字语言、图形(或数表)等转化为数学语言，利用数学知识建立相应的数学模型，将实际问题化为数学问题；

(3)求解

求解数学问题，得出数学结论；

(4)还原

将利用数学知识和方法得出的结论，还原为实际问题的答案.

[即时应用]

1．(2018·福州质检)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用一般的放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是(

) A．8

C．10

B．9 D．11 2．某大型民企为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该民企2016年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该民企全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(

) A．2017年

C．2019年

B．2018年

D．2020年

3．食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用给人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万1元)与投入a(单位：万元)分别满足P＝80＋42a、Q＝a＋120，设甲大棚的投入为x(单位：4万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．

(1)求f(50)的值；

(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？