复习参考题优质课一等奖

3.2.2

函数模型的应用实例（教学设计）

一、教学目标

1. 知识与技能目标：

（1）能根据图象和表格提供的有关信息和数据，建立函数模型；

（2）会利用建立的函数模型解决实际问题；

2．过程与方法目标：

（1）通过实例分析，

使学生感受函数的广泛应用，体会建立函

数模型解决实际问题的思维过程；

（2）在例题分析和讲解过程中，给同学们渗透法治教育.

3. 态度与价值观目标：

（1）让学生体验“问题解决”的成功喜悦，激发学习数学的兴

趣，增强学好数学的自信心；

（2）培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，优化学生理性思维和真务实的科学态度；

（3）经历建立函数模型解决实际问题的过程，领悟“认识来源于实践又服务于实践”的辩证观念. 二、教学重点与难点

1、重点：根据图、表信息建立函数模型解决实际问题；

2、难点：将实际问题抽象为数学问题，完成从文字语言，图表语言向符号语言的转化，并建立函数模型. 三、教材分析

本小节教材共有4个例题，大致分两类，其中例3和例5是

根据图标信息建立确定性函数模型解决实际问题；例4和例6是建立拟合函数模型解决实际问题.本小节分两个教学课时.本节课以教材例3和例4为基础,分别在图形和数表两种不同应用情景中,引导学生自主建立函数模型来解决实际问题. 四、学情分析

学生已掌握了一些基本函数的相关知识,初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程,为这节课的学习奠定了知识基础. 但学生的应用意识、应用能力比较弱, 且正确运用数学知识解决实际问题，需要有较高的抽象概括能力和数据处理能力, 这些能力要求会对学生的学习造成一定困难. 五、教学过程

(一) 引入新课: 在我们已学过利用一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等某个函数模型解决实际问题的基础上，引入本节课将要学习通过收集图表数据信息，建立某个函数模型解决实际问题的新课. (二) 例题分析:

例3. 一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示：

（1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义; （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数s(km)与时间t(h)的函数解析式，并作出相应的图象．

【设计活动】

对于第一小题：阴影部分的面积就是五个小矩形的面积之和，只要知道求其中一个小矩形的面积并知道其几何意义,就能解决这个问题. 因此，我引导学生对第一个小矩形进行分析，让学生说出它的长度、宽度分别是多少？根据“矩形面积=长度×宽度=速率×时间=路程”，学生就很快说出第一个小矩形的面积及其实际意义，整个问题也就迎刃而解了. 对于第二小题：由于“汽车里程表读数

=2010+汽车行驶路程”，而汽车行驶路程=速率×时间，分析v与t图象，可得v是t的分段函数，从而得s是t的分段函数. 我先让学生自主完成这个小题，并在黑板上展示解答过程，然后师生共同点评，纠错.

答案如下：

（1）阴影部分的面积为50×1＋80×1＋90×1＋75×1+65×1＝360.

阴影部分的面积表示汽车在这5小时内行驶的路程为360km．

（2）读数s与时间t的函数解析式为

作图（略）

【设计目的】

通过本例的教学，可让学生体会建立分段函数模型的思维过程，培养学生读图、识图、解图、画图的能力，渗透数形结合、分类整合的数学思想. 例4.人口问题是当今世界各国普遍关心的问题. 认识人口数量的变化规律，可以为有效控制人口增长提供依据.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯就提出了自然状态下的人口增长模型：y＝y0ert , 其中t 表示经过的时间，y0表示

t＝0时的人口数，r表示人口的年平均增长率．

下表是1950～1959年我国的人口数据资料（略）

（1）如果以各年人口增长率的平均值作为我国这一时期的人口增长率（精确到0.0001），用马尔萨斯人口增长模型建立我国在这一时期的具体人口增长模型，并检验所得模型与实际人口数据是否相符；

（2）如果按上表的增长趋势，大约在哪一年我国的人口达到13亿？

【设计活动】

设问一：如何根据表中数据确定马尔萨斯人口增长（函数）模型？

先求1951-1959年各年的人口增长率，再求年平均增长率r，确定y0的值，从而确定马尔萨斯人口增长（函数）模型.

设问二：对所确定的函数模型怎样进行检验?根据检验结果对函数模型又应作出如何评价? 作出人口增长函数的图象,再在同一直角坐标系上根据表中数据作出散点图,观察散点是否在图象上. 由图可以看出,所得模型1950-1959年的实际人口数据基本吻合. 设问三：如何根据所确定的函数模型具体预测我国某个时期的人口数,实质是何种计算方法?

将给出y的值代入所确定的函数模型中，并求出t的值. 答案如下：

（1）在1950-1959年期间我国人口增长模型为: y=55196e0.0221t ,t

0.0221t（2）将y=130000代入y=55196e中，并由计数器算得: t≈38.76,

于是1950+38.76≈1989. 所以按表中增长趋势,大约在1989年我国人口达到13亿. 【设计目的】

通过本例题的教学，可让学生体验解决实际问题的过程和

方法.培养学生分析归纳、概括能力.从而初步体验解应用题的

规律和方法. (三)跟踪训练: 1.某工厂2010年1月、2月、3月生产某种厂品分别为1 万件、1.2万件、1.3万件,为估计今后每个月的产量以便

按排供销，以这三个月的产量为依据, 找一个函数来模拟

该产品的月产量y（万件）与月份数x的函数关系, 函数在

二次函数y=ax+bx+c（a，b，c为常数）与函数 y=p·q+r （p，q，r为常数）中选择. 若4月的产量为1.37万,则你

认为用以上两个函数中的哪一个函数模拟较好? 答案如下：

求得的两个函数分别为：y=0.05x+0.35x+0.7 , y=-0.8×0.5+1.4. 用函数y=-0.8×0.5+1.4模拟较好.

2.某蔬菜基地种植西红柿, 由历年市场行情得知, 从二月一

日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图1一条折线 表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示：

（1）写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式：P=f(t) 写出图2表示的种植成本与时间的函数关系式: Q=g(t) （2）认定市场售价减去种植成本为纯收益, 问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg, 时间单位:天) 答案如下：

（1）市场售价、种植成本分别与时间的函数关系式为: 2xx22x

（2）二月一日开始的第50天, 上市的西红柿纯收益最大. 【设计活动】

要求学生以自主探索与合作交流相结合的方式进行求解，老师巡视答疑，再抽取几份不同解答由学生在黑板上展示，师生一起评价、纠错. 【设计目的】

培养学生在综合问题情境中对知识和方法的迁移能力. (四)归纳总结: 引导学生从总结解题方法，提炼数学思想等方面对本节课所学内容进行归纳总结. 【设计目的】

启发学生对本节课学习的内容进行总结，提醒学生重视研究问题的方法和过程. (五)作业布置: 第107页 习题3.2 第1、2、4题 六、教学反思

本节课我把提高课堂教学的有效性作为中心，所有的设计都围绕这个中心展开, 其一, 有明确的教学目标, 着重进行问题式教学，其二, 能突出重点、化解难点, 其三, 善于运用现代化教学手段, 其四, 根据具体内容, 开展分层教学, 其五, 关注学生, 发挥学生主体作用, 其六, 积极应用“参与式教学”, 调动学生的学习积极性, 其七, 切实重视基础知识、基本技能和基本方法, 其八, 渗透数学思想方法, 提高综合运用能力. 从课堂中学生的积极反应可以看出这节课是成功的, 当然

所有的方法在同一节课中都平均应用是不科学的，有时候讨论问题与讨论条件的可能性时用了问题式教学也暗含了分层教学. 尽量做到让不同的学生得到不同的发展是根本目的. 至于方法的选择要考虑授课内容、学生实际等因素.