阅读与思考 中外历史上的方程求解ppt配用优秀获奖教案

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学校名称

泸州市泸化中学

二分法原理及其探究过程和用二分法求方程的近似解

课例名称

教师姓名

徐元良

学段学科

高一数学

年级

高2018级

1.知识与技能:通过具体实例理解二分法的原理,能借助计算器(或计算机)用二分法求方程的近似解,进一步理解函数与方程的联系,了解这种方法是求方程近似解的常用方法。

2.过程与方法:通过含有超越函数式方程的求解展望,积极质疑探究。活跃思维;在逐步缩小零点所在区间的过程中,体会运动变化和极限思想;在概括概念,归纳步骤的过程中提高数学语言表达能力,培养归纳概括和抽象思维能力。

3.情感态度与价值观:初步体会“精确是特殊的,相对的;近似则是普遍的,绝对的”辩证唯物主义观点,树立追求真理、崇尚科学的信念。

重点:二分法原理及其探究过程和用二分法求方程的近似解。

教学目标

教学重难点

难点:对二分法原理的探究和对近似值的理解。

基于上面对教材的分析,结合所教班级(重点班)学生基础较好,思维活跃,敢于实验和质疑等特点,我选择探究式体验教学法和启发式教学法为主进行教学。创设问题情境后,学生在老师的启发引导、同学的合作帮助下,大胆进行探究。经历数学知识的形成过程,加深对知识的理解。鉴于本节课需要利用函数图像直观演示,逐步逼近过程中又需要完成大量数值计算。故利用计算机的作图功能和快速计算功能辅助教学,化难为易,提高效率。将学生的主要精力集中在求方程近似解方法的思考上。从而更好地体会函数知识的应用,体会“近似、数形结合、无限逼近”等数学思想方法。同时提高学生的数学探究能力。

学法指导:问题是探究的核心,有思必有疑,有疑必有问,“问”是创新意识的具体体现。教学过程中,我将适时地依据学生的“最近发展区”搭建平台,让学生主动地提出问题,探索问题,逐步培养学生善于质疑的学习习惯。尝试在问题的提出,解决过程中,通过学生的参与、比较、交流、总结。帮助学生逐步掌握动手实践、合作交流、积极探索的学习方法。

学情分析

教学法

探究式体验教学法和启发式教学法

【教学过程】:

一、提出问题、揭示课题

通过“解方程:lnx+2x-6=0”问题的提出,引起学生认识冲突(依据过去方程的经验和方法不能求解此方程),激起了解、探究、获取新知的欲望。这时,让学生阅读教材P91“中外历史上的方程求解”,使学生初步认识到,这种含有对数式或指数式的超越方程,甚至一些五次以上的多项式方程都不可能求出它的精确解(即便是能求出精确解,根据实际情况,也只需取其在某个精确度下的近似解)。从而确定“如何求方程lnx+2x-6=0在某个精确度下的近似解”的探索目标,引出本节的课题。同时使学生初步意识到“精确是特殊的、相对的;近似则是普遍的、绝对的”。这对刚刚踏进高中校门的学生而言,无疑是一场思维的革命。

二、解法探究、体验原理

1.合作探究,寻求途径

设计意图:通过教师的启发诱导,引导学生合作探究,寻求解决问题的途径。

教学过程

问题1:回顾上节所学内容,你能从中得到解决本节问题的启发吗?

在上节课中,已经学过方程的根与函数零点的关系,大多数学生容易想到建立相应的函数f(x)=lnx+2x-6,把问题转化为求这个函数零点的近似值上来,并且根据前面的学习,知道这个函数零点所在的大致区间为(2,3),因此教学过程中,我先让学生回顾上节课基本内容,提问个别学生谈一下想法,借以实现求方程解的问题向找函数零点问题的转化,然后利用多媒体画得该函数的图象和区间加以展示。

问题2:如何找出该函数的零点或其近似值呢?

因为有了函数图象和零点所在区间的直观认识,联想上节所学定理,学生就会有一个直观的想法——将零点所在范围尽量缩小,那么在一定精确度的要求下,就可以得到零点的近似值。至此,我鼓励学生观察后大胆地提出自己的想法,充分肯定有效性。

问题3:如何缩小零点所在的范围?

教师及时根据学生的这种纵深思维,让学生去主动思考缩小范围的方法和手段。学生可能会提出各种方案,如将区间二等分(三等分,……),每次算一个分点(两个分点,……)函数值等等,然后运用所学定理去缩小区间,我借助图示和学生共同分析

哪种方案更为快捷简单,并从对称美和算法执行等角度,优选出“取中点,将区间一分二”的方法,实现逐步缩小零点所在范围的目的。

至此,通过合作探究找到了缩小零点所在范围的具体途径。

2.动手计算,体验思想。

设计意图:通过学生动手实践,深刻理解二分法原理。

在上述合作探究的基础上,让学生借助计算器按照上述方法动手计算,逐渐缩小函数f(x)=lnx+2x-6零点所在区间,学生归纳积累经验。同时学习难点得以分散,在学生实际进行了几次运算操作之后,教师再利用多媒体给学生演示中点及其函数值计算,以及区间逐步缩小的过程(计算机呈现方式:选中n,按键盘上的“+”号增加迭代次数,按“-”号减少迭代次数)。让学生认识到这是一个典型的运动变化过程,如果需要,可以无限地进行下去,它将折射出运动变化和极限思想。

问题4(难点):有必要把零点所在区间无限缩小下去吗?那么我们计算到哪个区间才结束呢?

设计意图:寻找结束计算的标准或依据。

教师启发学生提出问题4,通过思考,学生会意识到,不管区间多小,也难以找到零点的精确值,寻找结束计算的标准或依据就成为学生当前迫切需要。考虑到学生已有知识基础与本节中“精确度”要求下求解的近似值存在差距,我将采用直接给出,然后借助图形形象化解释的手段,使学生明白其合理性并能实际运用【注:为使函数零点的近似值x与零点x0尽可能的接近,只需使所分割的小区间(a、b)的长度│b-a│足够小即可。如果事先给定一个很小的正数ε,使在分割过程中的某一小区间(a、b)的长度│b-a│小于ε,即可使│x0-x│<│b-a│<ε,那么,我们就把这个正数ε叫精确度(即我们结束计算的标准)】。这时,区间(a、b)内的任意一点与零点的精确值的误差都不超过给定的精确度(都可以作为零点的近似值),但为使将来的算法具有可执行性,我们选取区间的一个端点作为零点的近似值,如图所示。

然后,教师给定出一个精确度0.01,让学生判断何时结束计算,找出近似解。

三、抽象概括、归纳步骤

设计意图:在前面探究的基础上,引导学生概括概念,归纳步骤。

教学实施中,先让学生独立地用自己的语言概括出上面寻求函数零点的方法实质(利用将区间一分为二的手段,逐步逼近的变化过程,求出给定精确度的近似值),然后用数学语言把它描述出来,形成得到零点近似值的具有可操作性的方法—二分

法,最后让学生照教材上规范的定义,查找自己的错误,漏洞和冗言,借以感受数学语言之精练,培养抽象概括能力。

教材上所给的步骤接近算法语言,便于计算编程,学生很难用自己的语言准确地归纳,甚至直接去理解也比较困难。教学中,如果学生难以独立归纳则采用师生共同归纳的方法,先以一种通俗的语言表达出来,再引导学生转换为教材上的形式。其中关键是帮助学生理解步骤的“循环性”和“有限性”,从中渗透算法思想。

口诀:“定区间,找中点;中值计算两边看;同号去,异号算;零点落在异号间;周而复始怎么办?精确度上来判断”(对步骤辅助记忆)。

四、应用举例、形成技能

例2:借助计算器或计算机用二分法求方程2x+3x=7的近似解(精确度0.1)。

设计意图:①通过转化方程形式,建立相应的函数,进而利用二分法求解;进一步加强函数与方程的联系,突出函数的应用;②使学生进一步理解二分法的基本思想,掌握用二分法求方程近似解的一般步骤,以便建立解决这类问题的书面解题格式。

五、当堂训练、反馈矫正

1.下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求出函数零点的图

形是(

)

2. 教材P91、练习:第2题。

设计意图:⑴明确二分法的适用范围。⑵熟练掌握用二分法求方程近似解的步骤。并根据学生可能出现的问题,及时进行反馈矫正。

六、布置作业、巩固提高

1.书面作业:教材P92,习题3.1,A组第1、5题,B组第2题。

2.拓展作业:①阅读教材P93“信息技术应用”。(设计意图:感受算法的瞬间求解功能,增强学生对算法价值的认识)

②查阅有关资料,了解二分法在其它学科或社会实践中的实际应用。(设计意图:拓展学生知识面,使学生对二分法有更全面的认识)。

反思小结、完善认知

教学反思

分两个层次进行小结:一方面让学生自己进行知识的归纳总结,明确要掌握的基本

技能。另一方面师生一起回忆本节课的探究过程,强调从具体到抽象的思维方法,以及其中所渗透的“近似、函数与方程,数形结合,无限逼近”等数学思想方法。