习题1.2第一课时评课稿

高考数学一轮复习

2.4

二次函数

【高考新动向】

一、考纲点击

1.理解并掌握二次函数的定义、图象及性质；

2.会求二次函数在闭区间上的最值；

二、热点、难点提示

1.二次函数图象的应用及求最值是高考的热点. 2.题型以选择题、填空题为主,若与导数、解析几何知识交汇，则以解答题的形式出现. 【考纲全景透析】

1.二次函数的解析式

2．二次函数的图象与性质

【热点难点全析】

一、求二次函数的解析式

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求二次函数解析式的方法及思路

求二次函数的解析式,一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：

2．例题解析

【例1】设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)且图象在y轴上的截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式.

【方法诠释】二次函数f(x)满足f(x+t)=f(t-x),则其对称轴方程为x=t;图象在x轴上截得的线段长度公式为|x1-x2|,本题可设f(x)的一般式,亦可设顶点式. 解析：设f(x)的两零点分别为x1,x2,设f(x)=ax2+bx+c,则由题知：

c=1,且对称轴为x=-2. b2,即b=4a.∴f(x)=ax2+4ax+1. 2a

x1x2∴b=4a=2 x1x24x1x21624122a.

a2∴函数f(x)的解析式为fx12x2x1.

2【方法指导】用待定系数法求二次函数的解析式：

(1)设一般式是通法；

(2)已知顶点(对称轴或最值),往往设顶点式；

(3)已知图象与x轴的两交点,往往设两根式, 若选用形式不当，引入的待定系数过多，会加大运算量. 二、二次函数图象与性质的应用

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<一>求二次函数最值的类型及解法

(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动,不论哪种类型,解决的关键是对称轴与区间的关系,当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；

(2)常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，最值一般在区间的端点或顶点处取得．

<二>二次函数单调性问题的解法

结合二次函数图象的升、降对对称轴进行分析讨论求解. 注：配方法是解决二次函数最值问题的常用方法,但要注意自变量范围与对称轴之间的关系. 2．例题解析

【例】(2012·盐城模拟)已知函数f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)当a=-2时,求f(x)的最值；

(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数；

(3)当a=-1时,求f(|x|)的单调区间. 【方法诠释】解答(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系,结合图象或单调性直接求解,对于(3),应先将函数化为分段函数,再求单调区间.

解析：(1)当a=-2时,f(x)=x2-4x+3=(x-2)2-1, 则函数在［-4,2)上为减函数,在(2,6］上为增函数, ∴f(x)min=f(2)=-1,f(x)max=f(-4)=(-4)2-4×(-4)+3=35. 2aa,

(2)函数f(x)=x2+2ax+3的对称轴为x2∴要使f(x)在[-4,6］上为单调函数,只需-a≤-4或-a≥6,解得a≥4或a≤-6. (3)当a=-1时,f(|x|)=x2-2|x|+3 22x2x3x12,x0

22x2x3x12,x＞0其图象如图所示：

注：

1.影响二次函数f(x)在区间[m,n]上最值的要素有三个,即抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间；常用数形结合思想求解,但当三要素中有一要素不明确时，要分情况讨论. 2.确定与应用二次函数单调性，常借助其图象数形结合求解. 【高考零距离】

21. （2012·福建高考文科·Ｔ15）已知关于x的不等式xax2a0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_________．

【解题指南】开口向上的抛物线，要恒正，必须和x轴没有交点．

2【解析】选由题，(a)8a0，解得a(0,8)

答案: (0,8)

2. （2012·北京高考文科·Ｔ14）已知f（x）=m（x-2m）（x＋m＋3），g（x）=2x-2。若xR，f（x）＜0或g（x）＜0，则m的取值范围是_________。

【解题指南】由于g(x)的符号容易确定，先从g(x)的符号入手。对于f(x)m0时，为二次函数，两个零点2m,m3，利用其图象就可以列出式子来。

【解析】当x1时，g(x)0；当x1时，g(x)0，只需f(x)0，易知m0时，不成m02m1m31立，所以，解得4m0。综上，4m0

答案：4m0

3.（2010·安徽高考理科·Ｔ6）设abc0，二次函数fxaxbxc的图象可能是（ ）

2、

B、

、

、

【命题立意】本题主要考查二次函数图像与其系数的关系，考查考生的逻辑推理能力．

【思路点拨】逐项验证，由图象先确定a、c的符号，再根据对称轴的正负确定b的符号。

【规范解答】选

.由选项的二次函数图象可知，a0,c0,且对称轴满足abc0，故正确；同理可判断、B、错误。

【方法技巧】根据二次函数图像开口向上或向下，分a0或a0两种情况分类考虑，另外还要注意c值是抛物线与y轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标等对系数的影响。

b0，所以b0，

2a