习题1.2教学设计实例

第1讲

函数及其表示

[考纲解读]

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念．(重点) 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．(重点) 3.了解简单的分段函数，并能简单应用(函数分段不超过三段)．(难点) [考向预测]

从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年会考查函数的解析式与分段函数的应用，可能涉及函数的求值、函数图象的判断及最值的求解.

1．函数与映射

2．函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

01定义在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的□02函数值，03域；与x的值相对应的y值叫做□函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的□值域．

04定义域、□05对应关系和□06值域．

(2)函数的三要素：□(3)函数的表示法

07解析法、□08图象法和□09列表法．

表示函数的常用方法有□3．分段函数

(1)定义：若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的01对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．

□(2)分段函数的相关结论

①分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

02并集，②分段函数的定义域等于各段函数的定义域的□值域等于各段函数的03并集．

值域的□

1．概念辨析

(1)对于函数f：A→B，其值域就是集合B.(

) (2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．(

) (3)A＝{1,4,9}，B＝{－3，－2，－1,1,2,3}．

f：x→x的平方根是A到B的映射．(

) (4)分段函数是一个函数，而不是两个或多个函数．(

) 答案

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2．小题热身

(1)下列图形中可以表示为以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的是(

)

答案

C 解析

观察图形可知，B，D不是函数图象，A中函数的值域不是{y|0≤y≤1}，故选C. (2)函数y＝2x－3＋3A.2，＋∞

3C.2，3∪(3，＋∞)

答案

C 2x－3≥0，33解析

由解得x≥2且x≠3，所以已知函数的定义域为2，3∪x－3≠0，(3，＋∞)．

(3)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是(

) A．y＝(x＋1)2

x2C．y＝x＋1

答案

B 解析

对于A，函数y＝(x＋1)2的定义域为{x|x≥－1}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于B，定义域和对应关系都相同，是相等函数；x2对于C，函数y＝x＋1的定义域为{x|x≠0}，与函数y＝x＋1的定义域不同，不是相等函数；对于D，定义域相同，但对应关系不同，不是相等函数．

2x＋2，x≤0，(4)若函数f(x)＝x则f[f(1)]的值为(

) 2－4，x>0，A．－10

B．10

C．－2

D．2 答案

C 解析

f(1)＝21－4＝－2，f[f(1)]＝f(－2)＝2×(－2)＋2＝－2. 3B．y＝x3＋1 D．y＝x2＋1 1的定义域为(

) x－3B．(－∞，3)∪(3，＋∞) D．(3，＋∞)

(5)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________．(图中，曲线l与直线m无限接近，但永不相交)

答案

[－3,0]∪[1,4)

[1，＋∞)

[1,2)∪(5，＋∞) 解析

观察函数y＝f(x)的图象可知，f(x)的定义域为[－3,0]∪[1,4)，值域是[1，＋∞)，当y∈[1,2)∪(5，＋∞)时，只有唯一的x值与之对应．

题型

一

函数的定义域

1－x21．函数y＝2的定义域为(

) 2x－3x－2A．(－∞，1]

C．[1,2)∪(2，＋∞)

答案

D 21－x≥0，1－x21解析

由2得－1≤x≤1，且x≠－2，所以函数y＝22x－3x－22x－3x－2≠0B．[－1,1] 11－1，－D.∪－，1

22

11的定义域为－1，－2∪－2，1，故选D. 2．函数f(x)的定义域是[2，＋∞)，则函数y＝A．[1，＋∞)

C．[1,2)∪(2，＋∞)

答案

C f2x的定义域是(

) x－2B．(－∞，1] D．[2，＋∞)

2x≥2，f2x解析

依题意，解得x≥1且x≠2，所以函数y＝的定义域x－2x－2≠0，是[1,2)∪(2，＋∞)．

1．函数y＝f(x)的定义域

2．抽象函数的定义域的求法

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b求出．如举例说明2中f(x)的定义域是[2，＋∞)；f(2x)中x应满足2x≥2. (2)若已知函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

1．(2018·潍坊二模)函数f(x)＝1答案

－3，1

x<1，1－x>0，解析

由得12－0，31＋lg (－3x2＋5x＋2)的定义域为______．

1－x

1所以－3

答案

[－1,2] 解析

依题意，由x∈[－3，3]，可得x2－1∈[－1,2]，所以函数y＝f(x)

的定义域是[－1,2]．

题型

二

求函数的解析式

21．已知fx－1＝lg x，则f(x)＝________. 答案

lg 2(x>－1) x＋12222解析

令t＝x－1，则由x>0知x－1>－1，x＝，所以由fx－1＝lg x，t＋1得f(t)＝lg 22(t>－1)，所以f(x)＝lg (x>－1)．

t＋1x＋112－22．已知fx＋x＝x＋x，则f(x)＝________. 答案

x2－2(x≥2或x≤－2) 12－212解析

因为fx＋x＝x＋x＝x＋x－2，

11且当x>0时，x＋x≥2；当x<0时，x＋x≤－2，

所以f(x)＝x2－2(x≥2或x≤－2)．

3．已知f(x)是二次函数且f(0)＝5，f(x＋1)－f(x)＝x－1，则f(x)＝________. 123答案

2x－2x＋5 解析

因为f(x)是二次函数且f(0)＝5，

所以设f(x)＝ax2＋bx＋5(a≠0)．

又因为f(x＋1)－f(x)＝x－1，

所以a(x＋1)2＋b(x＋1)＋5－(ax2＋bx＋5)＝x－1，

2a－1＝0，整理得(2a－1)x＋a＋b＋1＝0，所以

a＋b＋1＝0，1313解得a＝2，b＝－2，所以f(x)＝2x2－2x＋5. 14．已知f(x)满足2f(x)＋fx＝3x，则f(x)＝________. 1答案

2x－x(x≠0) 1解析

因为2f(x)＋fx＝3x，①

131所以将x用x替换，得2fx＋f(x)＝x，②



1由①②解得f(x)＝2x－x(x≠0)，

1即f(x)的解析式是f(x)＝2x－x(x≠0)．

11条件探究1

举例说明2中“x＋x”改为“x－x”，其他条件不变，该如何求解？

12－212解

因为fx－x＝x＋x＝x－x＋2，

1当x≠0时，x－x∈R，所以f(x)＝x2＋2，x∈R. 1条件探究2

举例说明4中“fx”改为“f(－x)”，其他条件不变，该如何求解？

解

因为2f(x)＋f(－x)＝3x，①

所以将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②

由①②解得f(x)＝3x，即f(x)的解析式是f(x)＝3x.

求函数解析式的四种方法

1．若函数f(x)是一次函数，且f[f(x)]＝4x＋3，则函数f(x)的解析式为________．

答案

f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3 解析

设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则f[f(x)]＝af(x)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3，∴2a＝4，a＝2，a＝－2，解得或∴f(x)＝2x＋1或f(x)＝－2x－3. ab＋b＝3，b＝1b＝－3，

2．已知f(x＋2)＝x＋1，则函数f(x)的解析式为________．

答案

f(x)＝x2－1(x≥0) 解析

令t＝x＋2，则t≥0，x＝t2－2，

由f(x＋2)＝x＋1可得f(t)＝t2－2＋1＝t2－1. 故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－1(x≥0)．

题型

三

分段函数

角度1

求分段函数的函数值

log3－x，x<0，1．(2018·衡水模拟)已知函数f(x)＝

－fx－2，x≥0，则f(2017)＝(

) A．1

B．0

C．－1

D．log32 答案

B 解析

由已知得，当x≥0时，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(2017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝－f(－1)＝－log31＝0. 角度2

分段函数与方程、不等式的综合问题

4x＋a，x<1，22．设函数f(x)＝x若ff3＝4，则实数a＝(

) 2，x≥1，2A．－3

42C．－或－

33答案

A 2282解析

因为3<1，所以f3＝4×3＋a＝a＋3. 858若a＋3≥1，即a≥－3时，2a＋3＝4，

825即a＋3＝2⇒a＝－3>－3(成立)；

4B．－3

2D．－2或－

3

8532若a＋3<1，即a<－3时，则4a＋3＋a＝4，

452即a＝－3>－3(舍去)，综上a＝－3. 3．设函数________．

答案

(－∞，27]

13f(x)＝x2ex

13

，x≥8，－8，x<8，

则使得f(x)≤3成立的x的取值范围是解析

当x<8时，2ex8<2<3，此时f(x)≤3恒成立；当x≥8时，由x－

≤3得x ≤27，此时x的取值范围为8≤x≤27.综上所述，x的取值范围为(－∞，27]．

1．求分段函数的函数值

(1)基本步骤

①确定要求值的自变量属于哪一区间．

②代入该区间对应的解析式求值．

(2)两种特殊情况

①当出现f[f(a)]的形式时，应从内到外依次求值．如举例说明2. ②当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数22不同段的端点．如举例说明2，求f3后再求ff3要分类讨论．

2．求分段函数的参数或自变量的值(或范围)的方法

求某条件下参数或自变量的值(或范围)，先假设所求的值或范围在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值或范围，切记代入检验，看所求的自变量的值或范围是否满足相应各段自变量的取值范围．

2x＋x－2，x≤1，1．(2018·河南郑州三模)设函数f(x)＝

－lg x，x>1，

则f[f(－4)]＝________. 答案

－1 解析

f[f(－4)]＝f(16－4－2)＝f(10)＝－1.

12x－1，x≥0，2．函数f(x)＝1x，x<0，答案

[－1，＋∞)

若f(a)≤a，则实数a的取值范围是______．

1解析

当a≥0时，由f(a)＝2a－1≤a，解得a≥－2，所以a≥0；当a<0时，1由f(a)＝a≤a，解得－1≤a≤1，所以－1≤a<0.综上所述，实数a的取值范围是[－1，＋∞)．