习题2.1教学设计第二课时

2.1.2 指数函数及其性质(一) 学习目标

1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．

知识点一

指数函数

思考

细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x有什么不同？

答案

y＝2.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x恰好反过来．

梳理

一般地，函数y＝a(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R. 特别提醒：(1)规定y＝a中a>0，且a≠1的理由：

①当a≤0时，a可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，a＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝a中a>0，且a≠1.

(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③a的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2＋1不是指数函数．

知识点二

指数函数的图象和性质

指数函数y＝a(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：

xxxxxxxxx22

a>1

0

定义域

值域

过定点

性质

函数值的变化

单调性

R

(0，＋∞)

过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；

当x<0时，0

当x>0时，0

当x<0时，y>1 在R上是减函数

1

1．y＝x(x>0)是指数函数．( ×

) 2．y＝ax＋2x(a>0且a≠1)是指数函数．( ×

) x3．因为a＝1(a>0且a≠1)，所以y＝a恒过点(0,1)．( √

) 4．y＝a(a>0且a≠1)的最小值为0.( ×

) x0

类型一

求指数函数的解析式

例1 已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．

考点

待定系数法求指数函数解析式

题点

待定系数法求指数函数解析式

解

设f(x)＝a(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，

得到f(3)＝π，

1x3x即a＝π，解得a＝，于是f(x)＝. 33反思与感悟

(1)根据指数函数的定义，a是一个常数，a的系数为1，且a>0，a≠1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．

(2)要求指数函数f(x)＝a(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．

跟踪训练1 已知指数函数y＝(2b－3)a经过点(1,2)，求a，b的值．

考点

待定系数法求指数函数解析式

题点

待定系数法求指数函数解析式

解

由指数函数的定义可知2b－3＝1，即b＝2. 将点(1,2)代入y＝a，得a＝2. 类型二

求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域

命题角度1 faxxxxx型

例2 求下列函数的定义域、值域．

3xx(1)y＝x；(2)y＝4－2＋1. 1＋3考点

指数函数的值域

题点

指数型复合函数的值域

解

(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3≠－1)．

∵y＝＋3－11＝1－xx，

1＋31＋32 xxx

又∵3x>0,1＋3x>1，

∴0<111＋3x<1，∴－1<－1＋3x<0，

∴0<1－11＋3x<1，∴值域为(0,1)．

(2)函数的定义域为R，

y＝(2x)2－2x＋1＝2x－1232＋4，

∵2x>0，∴2x＝132，即x＝－1时，y取最小值4，

同时y可以取一切大于34的实数，

∴值域为34，＋∞. 反思与感悟

解决此类题可采用换元法，利用二次函数与指数函数的性质求解．跟踪训练2 求下列函数的定义域与值域．

(1)y＝1－12x；

＝ax(2)y－1ax＋1(a>0，且a≠1)．

考点

指数函数的值域

题点

指数型复合函数的值域

解

(1)∵1－12x≥0，∴12x≤1，解得x≥0，

∴原函数的定义域为[0，＋∞)．

令t＝1－12x (x≥0)，则0≤t<1，∴0≤t<1，

∴原函数的值域为[0,1)．

(2)原函数的定义域为R. 方法一

设ax＝t，则t∈(0，＋∞)，

y＝t－1t＋1－2t＋1＝t＋1＝1－2t＋1. ∵t>0，∴t＋1>1，

∴0<1t＋1<1，∴－2<－2t＋1<0，

∴－1<1－2t＋1<1. 即原函数的值域为(－1,1)．

3

ax－1y＋1x方法二

由y＝x(a>0，且a≠1)，得a＝－. a＋1y－1∵a>0，∴－xy＋1>0，∴－1

命题角度2 afx型

32x－1例3 求函数y＝1－的定义域、值域．

9考点

指数函数的值域

题点

指数型复合函数的值域

解

要使函数有意义，

则x应满足3即32x－1－22x－11－≥0，

9≥3. ∵y＝3在R上是增函数，

1∴2x－1≥－2，解得x≥－. 2x1故所求函数的定义域为－，＋∞. 2112x－1当x∈－，＋∞时，3∈，＋∞. 29∴32x－11－∈[0，＋∞)．

9∴原函数的值域为[0，＋∞)．

反思与感悟

y＝atf(x)的定义域即f(x)的定义域，求y＝atf(x)的值域可先求f(x)的值域，再利用y＝a的单调性结合t＝f(x)的范围求y＝a的范围．

跟踪训练3 求下列函数的定义域、值域：

1(1)y0.3x1;

(2)y35x1.

考点

指数函数的值域

题点

指数型复合函数的值域

解

(1)由x－1≠0得x≠1，

所以函数定义域为{x|x≠1}．

由1≠0得y≠1，

x－1所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．

4

(2)由5x－1≥0得x≥15，

所以函数定义域为1xx≥5

. 由5x－1≥0得y≥1，

所以函数值域为{y|y≥1}．

类型三

指数函数图象的应用

命题角度1 指数函数整体图象

例4 在如图所示的图象中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝bax的图象可能是(

考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象的位置与底数的关系

答案

A 解析

根据图中二次函数图象可知c＝0，

∴二次函数y＝ax2＋bx，∵ba>0，

∴二次函数的对称轴为x＝－b2a<0，

排除B，D. 对于A，C，都有0

故选A. 反思与感悟

函数y＝ax的图象主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.

跟踪训练4 已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是(

) A．(－1,5) B．(－1,4) C．(0,4) D．(4,0) 考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象过定点问题

答案

A 解析

当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，

此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．

命题角度2 指数函数局部图象

例5 若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．

) 5

考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象的应用

1－2，x<0，解

y＝|2－1|＝x2－1，x≥0，xx

图象如下：

1x由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2－1|的图象有两个公共点，需0<2a<1，即0

指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．

跟踪训练5 函数y＝a(a>1)的图象是(

) |x|

考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象的应用

答案

B 解析

函数y＝a是偶函数，当x>0时，y＝a.由已知a>1，故选B. |x|x

1．下列各函数中，是指数函数的是(

) A．y＝(－3)

xxB．y＝－3

6

1C．y＝3x－1

D．y＝3x

考点

指数函数的概念

题点

指数函数的判断

答案

D 2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(

) A．a>0且a≠1

B．a≥0且a≠1

C．a>12且a≠1

D．a≥12

考点

指数函数的概念

题点

根据指数函数的定义求参数的值

答案

C 3.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是(

A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．00 D．0

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象的位置与底数的关系

答案

D 4．函数2y＝3－x的值域是________．

考点

指数函数的值域

题点

指数型复合函数的定义域

答案

(0,1] 5．函数f(x)＝1－2x＋1x＋3的定义域为________．

考点

指数函数的定义域

题点

指数型复合函数的定义域

答案

(－3,0] x解析

由题意，自变量x应满足1－2≥0，x＋3>0，

) 7

解得－3

1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝a(a＞0，且a≠1)这一结构形式，即a的系数是1，指数是x且系数为1. 2．指数函数y＝a(a＞0，且a≠1)的性质分底数a＞1,0＜a＜1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．

3．由于指数函数y＝a(a>0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝a与函数f(x)的定义域相同．

4．求函数y＝af(x)xf(x)xxx(a＞0，且a≠1)(a＞0，且a≠1)的值域的方法如下：

(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；

(2)求t＝f(x)的值域t∈M；

(3)利用y＝a的单调性求y＝a在t∈M上的值域．

tt

一、选择题

1．若函数f(x)＝(a－3a＋3)a是指数函数，则(

) A．a＝1或a＝2 C．a＝2 考点

指数函数的概念

题点

根据指数函数的定义求参数的值

答案

C a－3a＋3＝1，解析

由题意得a>0且a≠1，x22xB．a＝1 D．a>0且a≠1

解得a＝2. 2．函数y＝a－a (a>0且a≠1)的大致图象可能是(

)

考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象的位置与底数的关系

答案

C 解析

如果函数的图象是A，那么由1－a＝1，得a＝0，这与a>0且a≠1相矛盾，故A不可能；如果函数的图象是B，那么由a－a<0，得0<0，这是不可能的，故B不可能；如果函数

8 1

的图象是C，那么由0<1－a<1，得0

3．设指数函数f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则下列等式中不正确的是(

) A．f(x＋y)＝f(x)f(y) B．f(x－y)＝fxfy

C．f(nx)＝[f(x)]n(n∈Q) D．[f(xy)]n＝[f(x)]n[f(y)]n(n∈N*) 考点

指数函数的性质

题点

指数函数的性质

答案

D 解析

f(x＋y)＝ax＋y＝axay＝f(x)f(y)，A对；

f(x－y)＝ax－y＝axa－y＝axfxay＝fy，B对；

f(nx)＝anx＝(ax)n＝[f(x)]n，C对；

[f(xy)]n＝(axy)n，[f(x)]n[f(y)]n＝(ax)n(ay)n≠(axy)n，D错．

24．设f(x)＝x，x<0，若方程f(x)＝a(a为实常数)有2个根，则a的取值范围是( 2x，x≥0，

A．(0,1) B．(0,1] C．(1，＋∞)

D．[1，＋∞)

考点

指数函数的求值

题点

指数函数的求值

答案

D 解析

f(x)的图象如图所示．

由图可知，当且仅当a≥1时，

y＝a与y＝f(x)有两个交点，

从而f(x)＝a有2个根．

5．函数y＝3x与y＝3－x的图象关于下列哪条直线对称(

) A．x轴

B．y轴

C．直线y＝x

D．直线y＝－x

考点

指数函数的图象与性质

) 9

题点

指数函数的图象与性质

答案

B 解析

若点(x0，y0)在y＝3的图象上，即y0＝3，

x0x则y0＝3－(－x0)，

－x∴(－x0，y0)在y＝3的图象上，反之亦然，

∴y＝3与y＝3关于y轴对称．

6．已知函数f(x)＝(a－1)，若x>0时总有f(x)>1，则实数a的取值范围是(

) A．1<|a|<2 C．|a|>1 考点

指数函数的概念

题点

根据指数函数的定义求参数的取值范围

答案

D 解析

由题意知a－1>1，解得a>2或a<－2，故选D. 17．若函数f(x)＝x，则此函数在(－∞，＋∞)上(

) 2＋1A．单调递减且无最小值

B．单调递减且有最小值

C．单调递增且无最大值

D．单调递增且有最大值

考点

指数函数的最值

题点

指数函数的最值

答案

A 解析

函数f(x)的定义域是R，设2＝t，x∈R，得t>0，则f(t)＝x22x－xxB．|a|<2 D．|a|>2 11.画出函数f(t)＝t＋1t＋1(t>0)的图象，如图．观察f(t)的图象，得此函数单调递减且无最小值．

8.如图所示，面积为8的平行四边形OABC的对角线AC⊥CO，AC与BO交于点E.若指数函数y＝a(a>0，且a≠1)的图象经过点E，B，则a等于(

) x

10

A.2B.3C．2D．3 考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象的应用

答案

A 848解析

设点C(0，m)(m>0)则由已知可得A，m，E，m，B，2m.又因为点E，B在指数mmmm＝a，

①函数的图象上，所以2m＝a，

②m8m4

③

8①式两边平方得m＝am，

②③联立，得m－2m＝0，

所以m＝0(舍)或m＝2，

所以a＝2. 二、填空题

22

9．函数y＝32－2的定义域是________．

考点

指数不等式的解法

题点

指数不等式的解法

答案

(－∞，5] 解析

由32－2≥0，得2≤2，∴x≤5.

10．已知5＝0.3,0.7＝0.8，则ab与0的大小关系是________．

考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象的应用

答案

ab<0 解析

由f(x)＝5与g(x)＝0.7的图象可知，5＝0.3<1时，a<0，同理b>0.所以ab<0. 2，x≥3，11．给出函数f(x)＝fx＋，x<3，xxxaabxx5x

则f(x)的值域为________．

考点

指数函数的值域

题点

与指数函数有关的值域问题

答案

[8，＋∞)

11

解析

当x≥3时，2≥2＝8；当x<3时，皆可通过有限次加1转化为第一类．

三、解答题

12．求下列函数的定义域和值域．

(1)y＝31xx3；

(2)y＝5－1. 考点

指数函数的值域

题点

指数型复合函数的值域

解

(1)令1－x≥0，得x≤1.

∴定义域为(－∞，1]．

设t＝1－x≥0，

则3≥3＝1，

∴值域为[1，＋∞)．

(2)定义域为R，∵5>0，∴5－1>－1，

∴值域为(－1，＋∞)．

1113．已知x∈[－3,2]，求f(x)＝x－x＋1的最小值与最大值．

42考点

指数函数的值域

题点

指数型复合函数的值域

11－x123－x－x－2x－x解

f(x)＝x－x＋1＝4－2＋1＝2－2＋1＝2－＋，

2442113－x－x∵x∈[－3,2]，∴≤2≤8，则当2＝，即x＝1时，f(x)有最小值，

424当2＝8，即x＝－3时，f(x)有最大值57. 四、探究与拓展

14．若函数f(x)＝a＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则一定有(a－1) x－x－x－x－xt0b____0.(填“>”“<”“＝”)

考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象的位置与底数的关系

答案

< 解析

已知函数f(x)＝a＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，画出草图如图所示．

x

12

a>1，由图象可得f，

解得a>1且b<0，∴(a－1)b<0. 1|x＋1|. 15．已知函数y＝3(1)画出函数的图象(简图)；

(2)由图象指出函数的单调区间；

(3)由图象指出当x取何值时函数有最值，并求出最值．

考点

指数函数的图象与性质

题点

指数函数图象的应用

1x＋1，x≥－1，1|x＋1|＝3解

(1)方法一

y＝33x＋1，x<－1.其图象由两部分组成：

向左平移1个单位长度1x＋11x一部分：y＝(x≥0)的图象――――――――――→y＝(x≥－1)的图象；

33向左平移1个单位长度xx＋1另一部分：y＝3(x<0)的图象――――――――――→y＝3(x<－1)的图象．

得到的函数图象如图所示．

1|x|1x方法二

①可知函数y＝是偶函数，其图象关于y轴对称，故先作出y＝(x≥0)的图331x1|x|象，当x<0时，其图象与y＝(x≥0)的图象关于y轴对称，从而得出y＝的图象．

331|x|1|x＋1|的图象，如图所示．

②将y＝的图象向左平移1个单位长度，即可得y＝33(2)由图象知函数的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．

(3)由图象知当x＝－1时，函数有最大值1，无最小值．

13

14