小结名师教学设计2

第二章

初等基本函数（I）复习课

一、教学三维目标

知识与技能：会利用指数、对数的概念与运算性质进行指数、对数的相关运算，初步认识建立和研究一个函数的方法，会对函数的图象、定义域、值域、单调性、奇偶性进行初步研究。

过程与方法：通过知识框图与重点知识点梳理，帮助学生建立知识网络；通过例题讲解促进学生数学素养的提升. 情感、态度、价值观：培养学生严谨的治学态度与探究意识与能力. 二、教学重难点

重点：对函数性质的研究. 难点：综合处理问题的能力. 三、教学方法

讲授法

四、教学过程设计

【知识框图】 【知识梳理】

1 实数指数幂的运算性质

（1）arasars(a0,r,sR); rrrrsrs(a)a(a0,r,sR); （2）（3）(ab)ab(a0,b0,rR). 2 对数与对数运算

（1）指数与对数的关系：当a0,a1时，axNxlogaN.

1

注：alogaNN. logaN； （2）对数运算性质：当a0,a1，M0，N0时，

①loga(MN)logaMMlogaMlogaN；

②logaNnlogMnlogaM(nR) . ③alogcb(a0,且a1;c0,且c1;b0). （3）换底公式：logablogca注：当a0,a1;b0,b1时，①logablogba1；

nlogbm②anlogab. m3 指数函数、对数函数、幂函数

（1）定义

形如形如f(x)ax（a0,且a1）的函数称为指数函数; f(x)logax（a0,且a1）的函数称为对数函数; f(x)x（R）的函数称为幂函数. 形如（2）指数函数与对数函数的图象与性质

注：yax(a0,a1)与ylogax(a0,a1)互为反函数.（3）常见幂函数的图象与性质

注：①幂函数的图象恒过点（1,1）；且其图象不过第四象限. 0f(x)x②在[0,)单调递增；

0f(x)x在(0,)单调递减. 4 函数的图象变换

（1）平移变换（左加右减、上加下减）

（2）对称变换

关于x轴对称yf(x)yf(x); ①关于y轴对称yf(x)yf(x); ②

2

关于原点对称yf(x)yf(x); ③关于yx对称xya(a0,a1)ylogax(a0,a1). ④3）翻折变换

保留x轴上方图象，yf(x)yf(x)并将x轴下方图象沿x轴翻折; yf(x)yf(x). 例1 下列函数中，满足“f(xy)f(x)f(y)”的是（ ）.

3(A) f(x)x；

保留y轴右边图象，并将其沿y轴翻折(B) f(x)3x；

(C) f(x)log3x；

(D) f(x)3x. 注：若f(x)ax(a0,且a1)，x,yR，则f(xy)f(x)f(y)；

若f(x)logax(a0,且a1)，x,y(0,)，则f(xy)f(x)f(y)；

若f(x)x(R)，x,y(0,)，则f(xy)f(x)f(y). 例2 比较下列各组数的大小：

(1) 0.4与0.5与0.5；

(2) 0.20.50.20.5与；

131314(3)log0.10.2与log0.10.3；

(4)log0.10.3与log0.20.3；

ln23(5)2与；

1.13.1log720.8(6)与. 3与ln3注：参考函数的单调性、引入中间量等方法比较数的大小.

3

例3 已知函数f(x)loga(1x)loga(3x)（其中a0,a1）且f(1)2，（1）求实数a的值；（2）求f(x)的定义域；（3）求f(x)的单调区间；（4）求f(x)的值域. 分析：（1）由f(1)loga2loga22loga22，得a2. 1x0（2）由得1x3，所以f(x)的定义域为3x0(1,3).

分析：(3) f(x)log2(1x)log2(3x)log2[(1+x)(3x)]，

令t(1x)(3x)，ylog2t.由图可得f(x)的单增区间为(1,1)，单减区间为[1,3)；（4）由图得f(x)的值域为(,2]. 注：复合函数单调性判断法则：“同增异减”.可用换元法求复合函数的值域. xf(x)log(a1)变式 已知函数（其中a0,a1），（1）求f(x)a的定义域；（2）讨论f(x)的增减性. 分析（1）：令a10，即ax1a0. x0)aaa1当时，的解集是(0,；当1a0时，axa0的解集是(,0)；所以当a1时，f(x)的定义域是x(0,)；当1a0时，f(x)的定义域是(,0). xyloguua1也是增a1分析（2）：当时，是增函数，axf(x)log(a1)在(0,)上是增函数. 函数，ax同理可证，当1a0时，f(x)loga(a1)在(,0)上是增函数.

4

例4

已知函数f(x)log1(2x)log1(2x)，则不等式22f(x)+f(x-1的解集为) . 分析：函数f(x)log1(2x)log1(2x)为奇函数，且在(2,2)单222x2减，则原不等式可化为f(x)f(1x)，等价于21x2解得x1x112x.所以原不等式的解集为(,2).

22变式1 已知函数f(x)log1(2x)log1(2x)，则不等式22f(x)f(1x)的解集为 . 分析：函数f(x)的定义域为(2,2)，定义域关于原点对称；由f(x)f(x)，得f(x)为偶函数，不等式可化为f(x)f(1x)，2x22又f(x)log1(4x)，知f(x)在[0,2)单增，所以21x2，解x2(1x)22111x.f(x)f(1x)的解集为(1,).

得2所以21axa变式2

已知函数f(x)log2x1（其中为常数）是奇函数. （1）求a的值；（2）如果当x(1,)时，f(x)log2(x1)m恒成立，求实数m的取值范围. 1ax1axlog2分析（1）

定义域中的任意x，log2x1x1恒成立.22(a1)x0恒成立.因为a1时，对数的真数为1，所以即a1. 分析（2）

可求得f(x)定义域(,1)(1,).由1x1xlog2(x1)log2(1x)log2log2(x1)m得mlog2x1x1因为x(1,)，所以log2(1x)(1,)，所以

m

5 1.

例5

已知幂函数f(x)xm22m3(mZ)是偶函数，且在(0,)单调递增，则f(x)的解析式为 .

(mZ)在(0,)单调递增，

2得m2m30得1m3，又mZ，所以m0，或1，分析

由或2. 又因为f(x)xm22m3f(x)xm22m3(mZ)是偶函数，

经检验，m1时符合题意. 所以例6

（1）识图 已知函数f(x)x4. f(x)axb的图象如右图所示，

则g(x)loga(xb)的图象是（

）. .

A B C D

（2）作图

（利用图象变换作出下列函数图象的草图）

6

f(x)x2x①x

②f(x)log2x

课堂小结（略）

作业（略）

五、教学反思

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