2.1.1 函数的概念和图象教案评析

2．1．1函数的概念（一）

江苏省泰州中学数学组

宋健

wjq_sj@sohu.com 1.2.1 函数的概念

教学目的: 1.体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，理解函数概念的本质. 2.了解构成函数的要素. 3.会求一些简单函数的定义域和值域. 4.掌握符号fx,fa的含义,发展学生的数感、符号感. 教学重点

函数概念的实质. 教学难点

对函数概念的理解及符号yfx的含义. 教学过程

一、创设情景，引入新课

阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想. 1.分析、归纳以上三个实例,得到共同点. 2.回忆初中所学函数概念. 3.判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系.由学生再举实例. 4.应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系

二、讲解新课

函数的概念: 一般地,设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数（function），记作y=f（x），x∈A. 其中，x为自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y=f（x）的定义域（domain）；

若A是函数y=f（x）的定义域，则对于A 中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合叫做函数的值域（range），y也叫因变量．

注：1.A与B都是非空集合. (1)函数是研究数与数的关系. (2)函数的定义域与值域非空. 2.法则的方向是从A到B.(强调函数的定义域) 3.”每一个””唯一”(单值对应). 4.对于函数f: AB而言,如果值域是C,那么CB ,不能将B当成函数的值域. 5.函数的本质:从一个非空数集到另一个非空数集的单值对应. 6.符号y=f(x): (1)在y=f(x)中f表示对应法则,不同的函数其含义不一样. (2)f(x)不一定是解析式,可以是”列表””图象”. (3) f(x)与f(a)是不同的，前者为变数，后者表示当x=a时所得到的函数值,是常数.

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wjq_sj@sohu.com 7.函数的三要素:定义域、对应法则、值域. 8.两个函数相同当且仅当它们的定义域与对应法则在实质上(不必在形式上)分别相同. 如:y=2x+1与f(t)=2t+1,但f(2x)=2(2x)+1=4x+1. 例1.判断下列对应是否为函数: 2，x≠0，x∈R；

x2（2）x→y，这里y=x，x∈N，y∈R. 2解：（1）对于任意一个非零实数x，被唯一确定，所以当x≠0时，xx22→是函数，这个函数也可以表示为f（x）=（x≠0）. xx2（2）当x＝4时，y由y=4给出，得y＝2和y＝－2，即给定一个x=4，2有两个y的值（±2）和它对应，所以x→y（y=x）不是函数. （自己输入一个x的值试一试）

方法引导：判断函数的标准可以简记成：两个非空数集A、B，一个对应关系f，A中任一对B中唯一. （1）x→例2. 求下列函数的定义域. 1

x2(2)f(x)=3x2

(1)f(x)=(3)f(x)=x11

2x分析：函数的定义域通常由问题的实际背景确定.如果只给出解析式y

=f(x)，而没有指明它的定义域.那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合. 解：(1)x－2≠0，即x≠2时，1有意义，

x2∴这个函数的定义域是{x｜x≠2} (2)3x＋2≥0,即x≥－义域是[－2时3x2有意义,∴函数y＝3x2的定32，＋∞) 3x10x1(3)

2x0x2∴这个函数的定义域是{x｜x≥－1}∩{x｜x≠2}＝[－1，2）∪（2，＋∞）. 注意：函数的定义域可用三种方法表示：不等式、集合、区间. 从上例可以看出，当确定用解析式y＝f（x）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况：

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wjq_sj@sohu.com (1)如果f(x)是整式，那么函数的定义域是实数集R；

(2)如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；

(3)如果f（x）是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合；

(4)如果f（x）是由几个部分的数学式子构成的，那么函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合(即使每个部分有意义的实数的集合的交集)；

(5)如果f(x)是由实际问题列出的，那么函数的定义域是使解析式本身有意义且符合实际意义的实数的集合. 例如：设一个矩形周长为80，其中一边长为x，则它的面积y=（40－x）x，其定义域为0＜x＜40. 例3.求下列函数的值域: (1) f(x)x11,x1,0,1,2,3; (2) f(x)x11.

注:已学函数的定义域和值域: 1．一次函数f(x)axb(a0):定义域R,

值域R;

2．反比例函f(x)22802xx = 2x|x0;(复习一下图像) k(k0):定义域x|x0,

值域x3．二次函数f(x)ax2bxc(a0):定义域R

4acb2值域：当a0时，y|y；当a0时，4a4acb2y|y

4a例4.判断下列函数是否表示同一个函数，说明理由？

0①

f ( x ) = (x

－1) ；g ( x ) = 1 ②

f ( x ) = x；

g ( x ) = x2

③ f ( x ) = | x | ；g ( t ) = t2

x21④f(x)x1;g(x)

x1x1x1;g(x)x21

2⑥f(x)x;圆面积g(x)是半径x的函数. ⑤f(x)例5已知f（x）=12（x∈R且x≠－1），g（x）=x+2（x∈R）. 1x（1）求f（2）、g（2）的值；

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wjq_sj@sohu.com （2）求f［g（2）］、g［f（2）］的值；

（3）求f［g（x）］、g［f（x）］的解析式. 方法引导：第（1）小题即求x=2时，f（x）、g（x）的函数的值；第（2）小题，即求x=g（2）时，f（x）的函数；第（3）小题实际上为第（2）小题更一般的推广，解题方法类同于第（2）题. 112=，g（2）=2+2=6. 12311（2）f［g（2）］=f（6）==. 167112（3）f［g（x）］=f（x+2）==. 1(x22)x23方法技巧：在解本题时，要正确理解对应关系“f”和“g”的含义，在求f［g（x）］时，一般遵循先里后外的原则.必要时还得考察函数的定义域. 注：我们称

f[g(x)] （或g[f(x)]）为复合函数

解：（1）f（2）=课本P24.练习

三．小结 :1.函数的本质;2.符号y=f(x);3.函数的要素. 四.作业:学案与测评

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