3.2.2 对数函数教案教学设计

教

设 计江苏省邗江中学

朱振扬

学

课标要求与教材分析：

本单元是本章的重要内容之一，是继学习指数函数后，通过具体实例了解对数函数模型的实际背景，类比指数函数，对对数函数的定义、性质的学习与研究，并结合指、对数函数的关系学习反函数，为随后进一步学习幂函数打下基础。

教材注重从现实生活的事例中引出对数概念，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望。另外图象的绘制，数据的计算要充分发挥计算机、计算器的作用。支持学生对数学的发现、探究，从而提高学生的数学思维能力与创造力。

学情分析：

学生在初中已经对几种初等函数进行过研究，已有了初步的感性、理性认识，前一单元指数函数的学习，使学生的认识更进一步，并形成了一定的研究方式与体系，为对数函数的学习奠定了基础，但对数函数的性质学生不易掌握，应加强学生的类比思想，让学生更好的理解并会应用其性质。

函数的学习是高中数学的难点，学生的数学思维能力与思想方法有待继续培养、提高、完善，要结合学生的实际情况，分解难点，逐一突破。

教学目标：

知识与技能：

1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像，探索并了解对数函数的单调性与特殊点。

2．知道指数函数yax与对数函数ylogax

互为反函数（a0,a1）。

过程与方法：

1．通过与指数的比较，引出对数的定义、运算性质，使学生亲身经历推理、归纳的过程。

2．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点。

3．通过对数函数图像和性质的学习，渗透数形结合、分类讨论、类比等数学思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力。

情感态度价值观：

1．通过指、对数函数图像间的关系，对学生进行对称美，简洁美的审美教育。

2．通过指数函数类比研究对数函数，使学生体会知识间的有机联系，激发学生的学习兴趣，增强学习的积极性，养成良好的思维品质。

3．通过师生间的相互交流，培养学生的合作精神。

对数函数及其性质

教学目标：

1．通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型。

2．能借助计算器或计算机正确画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的性质，且在掌握性质的基础上能进行初步的应用。

3．通过对数函数概念的学习，树立相互联系相互转化的观点，通过对数函数图象和性质的学习，渗透数形结合、分类讨论、类比等数学思想，注重培养学生的观察，分析，归纳等逻辑思维能力。

教学重点与难点:

重点：对数函数的概念和性质及其应用。

难点：对数函数性质的归纳﹑概括及其应用。

教学方法与手段：

1．启发研讨法：采用“问题情境——建立模型——解析、讲解——探讨研究——拓展与应用”的模式展开教学。

2．情景教学法：充分联系生活，尽可能增加教学过程中的趣味性、实践性，利用媒体

教学课件等丰富学生的学习资源，让学生动手操作和自主参与。

3．问题驱动法：精心设计各种数学问题，调动全体学生积极参与，激发学生的学习兴

趣，使学生自觉主动的学习。

使用教材构想：

教材从实例出发，引出对数函数的定义，

接着研究了两个具体对数函数ylog2x和ylog1x的图象，找出了其图象间的关系，然后通过观察一系列对数函数的图象归纳总结

了对数函数的性质，之后是性质的应用。使用教材时，本节课在概念的生成上进行了重新设计，并从学生的实际出发，设计了相应的练习。另外通过观察图象归纳了更多的性质并进行了初步应用。

教学流程：

一﹑创设情境，导入新课

师:问题1：某种细胞分裂时，由一个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，依此类推，当细胞个数为x时，细胞分裂次数y与x之间的关系式是什么？y是关于x的函2

数吗？(多媒体展示) 生：思考后回答2yxylog2x，y是关于x的函数，因为对于每一个细胞x，通过关系式，都有唯一确定的细胞分裂次数y与之对应。

师:问题2：《庄子-天下篇》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，试问当木棰剩余部分长度为x时，被截取的次数y与x之间的关系式是什么？(多媒体展示) y生：思考后回答()xylog1x，

y是关于x的函数，因为对于木棰被截取后不同的剩余部分的长度x，通过关系式，都有唯一确定的木棰被截取的次数y与之对应。

师: 同理，对于每一个对数式ylogax中的x，任取一个正的实数值，y均有唯一确定的值与之对应，所以ylogax是关于x的函数。

二﹑引导探究，形成概念

1.对数函数（学生归纳对数函数的定义）

一般地，我们把函数ylogax（a＞0且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）。

师:问题3：（1）在对数函数的定义中，为什么要限定a＞0且a≠1？

（2）为什么对数函数ylogax（a＞0且a≠1）的定义域是（0，+∞）？(多媒体展示) 生：小组讨论、交流，派代表回答问题。

（使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解）

师:同学们，由对数函数的定义完成下题：(多媒体展示) 下列函数中对数函数的个数是（

）

①y1222log2x ②ylog3(x1) ③ylogx ④

ylogx1 12A 1 B 2 C 3 D 4 生：A

说明：本题主要考查学生对对数函数定义的理解。

（学生说出答案，教师评价）

三﹑学生动手，探索性质

2．对数函数的图象和性质

师:问题4：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？

生：研究方法：画出函数的图象，结合图象研究函数的性质。

研究内容：定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性。

师:请同学们画出对数函数ylog2x和ylog1x的图象。

2（提示学生用描点法，如何取x的值，让一学生在黑板上画。教师分析学生作图，强调描点后要用光滑的曲线把这些点连起来，

注意整体的变化趋势）

师:问题5：函数ylog2x与ylog1x的图象有何关系？能否利用ylog2x的图象2画出ylog1x的图象？

2生：观察图象得出结论，图象关于y轴对称。

师:（借助几何画板演示）函数ylogax当a1和0a1时的若干个图象，请同学们观察，（1）当a1.5，a2，a3……时的图象，你能发现它们有什么共同特征？

（2）当a0.8，a0.5，a0.3……时的图象，你能发现它们有什么共同特征？请你概括一下对数函数应具有什么性质。

生：观察图象，小组讨论交流，总结归纳并回答问题。

（在师生活动中，教师应给予学生一定的时间思考和巩固）

四﹑学生归纳，建构特征

一般地，对数函数ylogax（a＞0且a≠1）的

图象和性质如下表所示：

图象的特征

（1）图象都在y轴的右边

（2）函数图象都经过（1，0）点

（3）从左往右看，当a＞1时，图象逐渐上升，当0＜a＜1时，图象逐渐下降

。

函数的性质

（1）定义域是(0,)

（2）1的对数是0 （3）当a＞1时，ylogax是增函数，

当0＜a＜1时，ylogax是减函数。

（4）当a＞1时 x＞1，则logax＞0 0＜x＜1，logax＜0 当0＜a＜1时 x＞1，则logax＜0 0＜x＜1，logax＜0 （4）当a＞1时，函数图象在（1，0）点右边的纵坐标都大于0，在（1，0）点左边的纵坐标都小于0。

当0＜a＜1时，图象正好相反，在（1，0）点右边的纵坐标都小于0，在（1，0）点左边的纵坐标都大于0 。

由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启发、引导）：

函

数

ylogax(a1)

ylogax(0a1)

y=logax

y

0 1

(0,)

R

图 象

y 0 1 y=logax x

定义域

值

域

过

点

单调性

x 过点（1，0）即当

x1，y0

在(0,)上是增函数

在(0,)上是减函数

取值范围

0x1时，y0

0x1时，y0

x1

时，y0

x1

时，y0

五﹑变式训练，加深理解

例7．求下列函数的定义域：

（1）ylogax2 （2）yloga(4x)（a＞0且a≠1） 先由学生列出相应的不等式，其中特别要注意对数中真数和底数的条件限制。

[教师板书（1）,学生完成（2）] 练习1：求下列函数的定义域：

（1）ylog5(1x)

（2）

y



（

3

）

y



log713xlog2x

例8．比较下列各组数中两个值的大小：

(1) log23.4,log28.5 ⑵

log0.31.8,log0.32.7

⑶loga5.1,loga5.9 (a0 , 且a1 )[ 教师板书⑶，学生完成(1) ⑵，] 11让学生先说出各组数的特征即它们的底数相同，故可以构造对数函数利用单调性来比大小。

练习2: 比较下列各题中两个值的大小: ⑴

log106 log108

⑵

log0.56 log0.54

⑶

log0.10.5 log0.10.6 ⑷

log1.50.6 log1.50.4

六、归纳小结，强化思想

师：通过这节课的学习，你有哪些收获？

生：思考总结，并发表自己的意见。

师：指导并给出完整小结。（本节课的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质．在理解对数函数的定义的基础上，掌握对数函数的图象和性质是本节课的重点，另外通过本节课的学习同学们要体会分类讨论﹑数形结合和类比的数学思想。）

板书设计

2.2.2对数函数及其性质

1. 对数函数定义： 3.应用：

例1. 教师板演（1）

学生板演

2. 对数函数图象和性质： 例2.教师板演（3）

作业设计

基础性作业：教材P74习题2．2（A组）

第7、8﹑10题； 拓展性作业： 比较下列各组数中两个值的大小: ⑴

log67, log76 ; ⑵log31.5 , log20.8

达标检测

一﹑选择题：

1．函数ylg(x1)lg(x1)的定义域是（

）

A． (1,) B．

(1,)

C．

(1,1)

D．

[1,)

2. 函数ylog1(x1)

(x0)的值域是（

）

2A．R B．[0,)

C．(,1]

D．(,0]

二﹑填空题：

1．(1)

log20.3____0 (2)

log0.75____ 0 (3)

log34____ 0 (4)

log0.60.5

____ 0 （5）lg5 ____1 （6）ln3____1 2.设

g(x){x0ex1lnxx0，则g(g(2))____。

教学反思

对数函数的概念仍类比指数函数的研究方法，通过学生熟悉的具体实例，将数集之间的一种特殊的对应关系，定义为对数函数，一方面遵循了学生的认知结构水平，又适合学生的思维水平，为学生建构知识网络搭建平台，便于水到渠成，另一方面，通过具体函数的研究，加强了学生对函数概念的理解。教学中，让学生动手作图象，然后运用媒体画出不同底数a的对数函数图象，这样学生能更直观的观察出对数函数的图象，对突破本节课的重、难点起了很大的帮助。并且通过选取不同的底数a的对数函数图象，让学生类比研究指数函数图像及其性质分组探究对数函数的图象和性质，这个环节让学生合作学习，合作学习让学生感受到学习过程中的互助，还能让学生自己建构知识体系，没有传授也没有灌输。通过学生主动探索对数函数图象的特征，从而挖掘对数函数的性质，不仅发挥了学生的主体作用，调动了学生的学习积极性，而且培养了学生的观察、实践能力。

例7、例8注重函数性质的应用。教学中发现，如果将反函数的教学放在本节课，时间不够充裕，因此反函数的教学要放在下一节。像对数函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会，才能加深理解。但书中对数函数图象的应用问题较少，应加例题，但一定要控制题目难度和知识的深广度。