2.2.1 函数的单调性说课稿【一等奖】

微专题14

函数的单调性、奇偶性、周期性

函数是高考数学的重点内容之一，对函数基本性质的考查是其主要方向；单调性、奇偶性和周期性是函数的几个重要性质，也是研究函数的主要工具，单调性、奇偶性的考查在江苏高考题中常以填空题的形式出现，周期性作为函数的一个整体性质，给函数带来了周而复始的无穷魅力，也正因如此，周期性、单调性、奇偶性如同函数性质的三驾马车，成为了模考、高考的重点考查对象．重点考查学生的数形结合、分类讨论等方面的能力，考查学生的基本数学素养.

例题1设函数f(x)＝ka－a(a＞0，a≠1)是定义域为R的奇函数．

(1)若f(1)＞0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x－4)＞0的解集；

3－(2)若f(1)＝，且g(x)＝a2x＋a2x－4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．

2

例题2(2018·江苏卷)函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)(x∈R)，且在区间(－2，2]上，f(x)＝x－xcosπ2x，0＜x≤2，则f(f(15))的值为____________．

1x＋2，－2＜x≤0，

－2＋a变式1设f(x)＝x＋1(a，b为实常数)．

2＋b(1)当a＝b＝1时，证明：f(x)不是奇函数；

(2)若f(x)是奇函数，求a与b的值；

(3)当f(x)是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D，对任何属于D的x，c，都有f(x)＜c2－3c＋3成立？若存在试找出所有这样的D；若不存在，请说明理由．

变式2若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝xx（1－x），0≤x≤1，2941则f4＋f6的值为________________．

sin πx，1＜x≤2，

串讲1已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，满足条件：①f(xy)＝f(x)＋f(y)；②当x＞1时，f(x)＞0恒成立，若f(2)＝1，则满足f(x)＋f(x－3)≤2的x的取值范围是________________．

1x2－2x＋，串讲2已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝2若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________________．

已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，且f(x)在区间(－∞，0)上单调递增，f(－1)＝0.设g(x)＝cos2x＋msinx－2m，集合M＝mπx∈0，，g（x）<0，集合N＝2mπ，则M∩N＝________________. x∈0，，f[g（x）]<02

已知函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)＝x－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；

311131x＋＝fx－. 当≤x≤时，f(1－x)＝f(1＋x)，当x＞时，f22222(1)求f(6)的值；

(2)求x≥0时，函数f(x)的解析式．

x＋1，0＜x＜1，2答案：(1)2；(2)f(x)＝

1＋k，1＋k，k∈N，（x－k）＋1，x∈2（2＋k－x）＋1，x∈1＋k，3＋k，k∈N，23330，x＝0，11111x＋＝fx－，则f(x＋1)＝fx＋＋＝

解析：(1)当x＞时，f2222211x＋－＝f(x).2分

f221所以x＞时，f(x)的周期为1，则f(6)＝f(1)．当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)，

2且x＜0时，f(x)＝x3－1，故f(6)＝f(1)＝－f(－1)＝2.4分

(2)当x＝0时，f(－0)＝－f(0)，f(0)＝0.6分

因为x＜0时，f(x)＝x3－1，且－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；

则当x∈(0，1]时，－x∈[－1，0)，

f(x)＝－f(－x)＝－(－x3－1)＝x3＋1，8分

31131，时，2－x∈，1，

又≤x≤时，f(1－x)＝f(1＋x)，则x∈2222x＋1，0＜x≤1，则f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3＋1，故f(x)＝310分

3（2－x）＋1，1≤x≤，21由(1)知，x＞时，f(x)的周期为1，

211＋k，1＋k(k∈N)，x－k∈，1(k∈N)，

则x∈22f(x)＝f(x－k)＝(x－k)3＋1，12分

331＋k，＋k(k∈N)，x－k∈1，(k∈N)，

则x∈22f(x)＝f(x－k)＝(2＋k－x)3＋1，14分

3

x＋1，0＜x≤1，2综上所述，f(x)＝.

1＋k，1＋k，k∈N，（x－k）＋1，x∈2（2＋k－x）＋1，x∈1＋k，3＋k，k∈N.23330，x＝0，