2.2.1 函数的单调性公开课教案

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2.2

函数的简单性质（2）

宿迁市马陵中学

范金泉

教学目标：

1．进一步理解函数的单调性，能利用函数的单调性结合函数的图象，求出有关函数的最小值与最大值，并能准确地表示有关函数的值域；

2．通过函数的单调性的教学，让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．

教学重点：

利用函数的单调性求函数的值域．

教学过程：

一、问题情境

1．情境．

（1）复述函数的单调性定义；

（2）表述常见函数的单调性．

2．问题．

结合函数的图象说出该天的气温变化范围．

二、学生活动

1．研究函数的最值；

2．利用函数的单调性的改变，找出函数取最值的情况；

三、数学建构

1．函数的值域与函数的最大值、最小值：

一般地，设y＝f(x)的定义域为A．若存在x0A，使得对任意xA，

f(x)≤

10 8 6 4 2 －2 θ/℃

2 4 14 24 t/h

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f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最大值，记为ymax＝f(x0)．

若存在定值x0A，使得对任意xA，f(x)≥f(x0)恒成立，则称f(x0)为y＝f(x)的最小值，记为ymin＝

f(x0)．

注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点，典型的例子就是二次函数y＝ax2＋bx－c(a≠0)，当a＞0时，函数有最小值；当a＜0时，函数有最大值．

（2）利用函数的单调性，并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值域或函数的最值的常用方法．

2．函数的最值与单调性之间的关系：

已知函数y＝f(x)的定义域是[a，b]，a＜c＜b．当x[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x[c，b] 时，f(x)是单调减函数．则f(x)在x＝c时取得最大值．反之，当x[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x[c，b] 时，f(x)是单调增函数．则f(x)在x＝c时取得最小值．

四、数学运用

例1

求出下列函数的最小值：

1（1）y＝x2－2x；（2）y＝，x∈[1，3]．

x变式：

（1）将y＝x2－2x的定义域变为(0，3]或[1，3]或[－2，3]，再求最值．

1（2）将y＝x的定义域变为(－2，－1]，(0，3]结果如何？

跟踪练习：求f(x)＝－x2＋2x在[0，10]上的最大值和最小值．

例2

已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调增函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调减函数．试证明f(x)在x＝c时取得最大值．

变式：已知函数y＝f(x)的定义域为[a，b]，a＜c＜b．当x∈[a，c]时，f(x)是单调减函数；当x∈[c，b]时，f(x)是单调增函数．试证明f(x)在x＝c时取得最小值．

例3

求函数f(x)＝x2－2ax在[0，4]上的最小值．

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练习：如图，已知函数y＝f(x)的定义域为[－4，7]，根据图象，说出它的最大值与最小值．

求下列函数的值域：

（1）y＝x1，x[0，3]；

（2）

y＝1，x[2，6]；

x15 4 3 －1 O －4 y x －1 －2 3 5 7 （3）y＝x21；

（4）y＝1．

1x(1x)五、回顾小结

利用图形，感知函数的单调性→证明一个函数的单调性→确定一个函数的最值→确定一个函数的值域．

六、作业

课堂作业：课本40页第3题，44页第3题．