3.4.1 函数与方程教案板书设计

第1课时

函数的零点

明目标、知重点

1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系.2.掌握函数零点存在性判定定理.3.能结合图象求解零点问题．

1．函数的零点

一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．

2．方程、函数、图象之间的关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．

3．函数零点的存在性定理

一般地，若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．

[情境导学]

下图是某地气象局测得当地一天的一个气温变化模拟函数图(即一个连续不间断的函数图象)，由于图象中有一段被墨水污染了，有人想了解一下当天7时到11时之间有无可能出现温度是0摄氏度，你能帮助他做出正确判断吗？

探究点一

函数零点的定义

思考1

考察下列一元二次方程与对应的二次函数：

(1)方程x2－2x－3＝0与函数y＝x2－2x－3；

(2)方程x2－2x＋1＝0与函数y＝x2－2x＋1;

(3)方程x2－2x＋3＝0与函数y＝x2－2x＋3. 请列表表示出方程的根，函数的图象及图象与x轴交点的坐标．

答

方程

函数

x2－2x－3＝0

y＝x2－2x－3

x2－2x＋1＝0

y＝x2－2x＋1

x2－2x＋3＝0 y＝x2－2x＋3

函数的图象

x1＝x2＝1

(1,0)

无实数根

无交点

方程的实数根

函数的图象与x轴的交点

x1＝－1，x2＝3

(－1,0)、(3,0)

思考2

从你所列的表中你能得出什么结论？

答

方程根的个数与对应函数与x轴交点的个数相同，方程的根是函数与x轴交点的横坐标．

思考3

我们把使函数f(x)＝x2－2x－3的值等于零的实数－1,3叫做函数f(x)＝x2－2x－3的零点．那么你能给函数y＝f(x)的零点下个定义吗？

答

一般地，我们把使函数y＝f(x)的值为0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．

思考4

函数y＝f(x)有零点可等价于哪些说法？

答

函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔方程f(x)＝0有实数根．

思考5

请说出函数①y＝lg x；②y＝lg(x＋1)；③y＝2x；④y＝2x－2的零点．

答

①y＝lg x的零点是1；②y＝lg(x＋1)的零点是0；③y＝2x没有零点；④y＝2x－2的零点是1. 例1

求证：二次函数y＝2x2＋3x－7有两个不同的零点．

证明

考察二次方程2x2＋3x－7＝0. 因为Δ＝32－4×2×(－7)＝65>0，

所以方程2x2＋3x－7＝0有两个不相等的实数根．

因此，二次函数y＝2x2＋3x－7有两个不同的零点．

反思与感悟

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标，所以函数的零点是一个数，而不是一个点．在写函数零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标．

跟踪训练1

若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点为2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．

1答案

0，－

2a1解析

∵a≠0,2a＋b＝0，∴b≠0，＝－. b2a1令bx2－ax＝0，得x＝0或x＝＝－. b2探究点二

函数零点存在性定理

例2

判断函数f(x)＝x2－2x－1在区间[2,3]上是否存在零点．

解

方法一

根据求根公式可得方程x2－2x－1＝0的两个根分别为x1＝1＋2，x2＝1－2. 因为1<2<2，所以2<1＋2<3，因此，函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2,3)上存在零点．

方法二

如图所示，因为f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，而二次函数f(x)＝x2－2x－1在区间(2,3)上的图象是不间断的，这表明此函数图象在区间(2,3)上一定穿过x轴，即函数在区间(2,3)上存在零点．

思考1

你能归纳出判断函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点的一般方法吗？

答

函数零点存在性定理：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点．

思考2

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是不间断的一条曲线，函数y＝f(x)在区间(a，b)上存在零点，f(a)·f(b)<0是否一定成立？

答

不一定成立，由下图可知．

思考3

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，满足了上述两个条件后，函数的零点是唯一的吗？

还要添加什么条件可以保证函数有唯一零点？

答

函数零点不一定唯一，由下图可知，还需添加函数y＝f(x)在区间[a，b]上单调．

小结

函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，但不一定有f(a)·f(b)<0.即零点存在性定理不可逆．

跟踪训练2

求证：函数f(x)＝x3＋x2＋1在区间(－2，－1)上存在零点．

证明

因为f(－2)＝(－2)3＋(－2)2＋1＝－3<0，

f(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1>0，

且函数f(x)的图象在区间[－2，－1]上的图象是不间断的，所以函数f(x)在区间(－2，－1)上存在零点．

例3

求函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点的个数．

解

用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表和图象如下：

x 1

2

3

4

5

6

7

8

12.079 4

9 14.197 2 f(x)

－4

－1.306 9

1.098 6

3.386 3

5.609 4

7.791 8

9.945 9

由上表和图象可知f(2)<0，f(3)>0，即f(2)·f(3)<0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点．

由于函数f(x)在定义域(0，＋∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．

反思与感悟

本题不用计算列表、画图象也可得到结论：

(1)寻找函数值符号的变化规律，如f(2)，f(3)的符号，由f(2)＝ln 2－2＝ln 2－ln e2<0，f(3)＝ln 3＋0>0，所以f(2)·f(3)<0. (2)通过作出函数y＝ln x，y＝－2x＋6的图象，观察两图象的交点个数得出结论．也就是将函数f(x)＝ln x＋2x－6的零点个数转化为函数y＝ln x与y＝－2x＋6的图象交点的个数．

跟踪训练3

根据表格中的数据，可以断定方程ex－(x＋2)＝0(e≈2.72)的一个根所在的区间是________. x ex

x＋2

－1

0.37

1

0

1

2

1

2.72

3

2

7.40

4

3 20.12 5 ①(－1,0)；②(0,1)；③(1,2)；④(2,3)．

答案

③

解析

令f(x)＝ex－(x＋2)，

则f(－1)＝0.37－1<0，f(0)＝1－2<0，f(1)＝2.72－3<0，f(2)＝7.40－4＝3.40>0. 由于f(1)·f(2)<0，

∴方程ex－(x＋2)＝0的一个根在(1,2)内．

例4

求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．

解

方法一

∵f(0)＝1＋0－2＝－1<0，f(1)＝2＋lg 2－2>0，∴f(x)在(0,1)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2在(0，＋∞)上为增函数．

故f(x)有且只有一个零点．

方法二

在同一坐标系下作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg (x＋1)的草图．

由图象知g(x)＝lg (x＋1)的图象和h(x)＝2－2x的图象有且只有一个交点，即f(x)＝2x＋lg (x＋1)－2有且只有一个零点．

反思与感悟

判断函数零点的个数的方法主要有：(1)可以利用零点存在性定理来确定零点的存在性，然后借助于函数的单调性判断零点的个数．(2)利用函数图象交点的个数判定函数零点的个数．

跟踪训练4

已知a∈R，讨论关于x的方程|x2－6x

＋

8|＝a的实数解的个数．

解

令f(x)＝|x2－6x

＋

8|，g(x)＝a，在同一坐标系中画出f(x)的图象，如图所示，

f(x)＝|(x－3)2－1|，

下面对a进行分类讨论，由图象得，

当a＜0时，原方程无实数解；

当a＝1时，原方程实数解的个数为3；

当0＜a＜1时，原方程实数解的个数为4；

当a＞1或a

＝

0时，原方程实数解的个数为2.

1．若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________________．

答案

(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析

Δ＝m2－4>0，m>2或m<－2. 2．若函数y＝f(x)在R上递增，则函数y＝f(x)的零点的个数为________．

答案

至多有一个

解析

由于函数y＝f(x)在R上递增，所以函数的图象最多与x轴有一个交点，即函数y＝f(x)的零点至多有一个．

13．函数f(x)＝x＋的零点的个数为________．

x答案

0 解析

函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，

当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，

但此函数在定义域内的图象不连续，所以函数没有零点．

[呈重点、现规律]

1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．

2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：(1)函数是连续的；(2)定理不可逆；(3)至少存在一个零点．

3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：(1)用定理；(2)解方程；(3)用图象．

4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．