3.4.2 函数模型及其应用教案设计

2018数学公开课·侯集中学数学组

·陈小祥

——应用题系列

第1节

函数模型及其应用

——平面图形应用题（教学案）

一、考纲要求：

能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造适合的数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决；

二、考情分析：

1.数学应用题是江苏高考的特色之一，我省试题结构中，大多处于中档题的位置，无论是从试题难易程度还是从学生答题节奏上看均起着承上启下的作用；

2.平面图形应用题涉及的数学模型主要有:纯函数模型，三角函数模型,解几模型 ,函数不等式模型等，旨在考查学生的数学应用意识和数学建模、解模的能力. 三、学习目标

1.学习如何审题，实现由实际问题向数学问题的转化（数学建模），最后通过已有的数学知识解决问题（数学解模）；

2.借助变元问题，提炼解题方法，掌握思考问题角度，形成“好”元的选择标准，并训练梳理解模的常规技法. 四、学习重点

应用题阅读理解分析的学习提升，变元特别是角参问题常规解决技巧的总结归纳. 五、学习难点

相似背景的数学模型的识别和建立，以及对应的解模方法的选择梳理. 六、教学过程：

（一）自主训练

体会模型

1.（2013陕西理科·函数不等式模型）在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m的内接矩形花园（阴影部分），则其边长x（单位：的取值范围是

；

m）

40mx

40m

（第1题图） （第2题图）

2.

（函数解几模型）如图，一块曲线部分是抛物线形的钢板，其底边长为2，高为1，将此钢板切割成等腰梯形的形状，记CD2x，梯形面积为S，则S的最大值是________．

3.（三角函数模型）如图，C,D是两个小区所在地，C,D到一条公路AB的垂直距离分别2

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为CA1km,BD2km，A,B两端的距离为6km

如图（1），某移动公司将在AB之间找一点P，在点P处建造一个信号塔，使得点P对A,C的张角与点P对B,D的张角相等，则AP

; 如图（2），某环保部门将在AB之间找一点Q，在点Q处建造一个垃圾处理厂，使得点Q对C,D的张角最大，则QA

;

4.（2010江苏14题·纯函数模型）将边长为1m的正三角形薄片，沿一条平行与底边的直(梯形的周长)2线剪成两块，其中一块是梯形，记S，则S的最小值是

．

梯形的面积（二）问题探究

总结规律

例1：（2008江苏17题）某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的顶点A,B及C,D的中点P处，已知AB20km,BC10km，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD的区域上（含边界），且与A,B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO,BO,OP，设排污管道的总长为ykm．

（Ⅰ）按下列要求写出函数关系式：

①设BAO(rad)，将y表示成的函数关系式；

DOPC②设OPx(km)

，将y表示成x的函数关系式．

（Ⅱ）请你选用（Ⅰ）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．

AQB(1,3),N(6,2)，点P在x轴上，且使得引例：（苏教版教材必修2第95页21）已知M

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PMPN取最小值，求点P的坐标.

分析：

审题：题目的条件有哪些？应如何理解？ （1）相距14km的两个居民小区M和N；

（2）位于河岸

l（直线）的同侧；

（3）M和N到河岸的距离分别为

10km和8km；

（4）从P分别排设到两个小区的直线水管PM,PN；

（5）PM,PN和垂直于河岸的水管PQ

题目的结论是什么？有几个？怎么理解？

（1）设PQ段水管长为t(km)(0t8)

（2）求P到两小区水管的长度之和的最小值

（3）用t表示）

题目的结论与条件有哪些联系？解题的逻辑链是什么？

PMPN最小值

PMPN最小值（点N,N关于线对称）

求MN值

两点之间距离，建系，（解析几何模型）

问题：如何解模？

建模：

变式训练

思维拓展

1.如图，相距14km的两个居民小区M和N位于河岸

l（直线）的同侧，M和N到河岸

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的距离分别为

10km和8km．现要在河的小区一侧选一地点P，在P处建一个生活污水处理站，并从P分别排设到两个小区的直线水管PM,PN和垂直于河岸的水管PQ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ段水管长为t(km)(0t8)．

（1）求污水处理站P到两小区水管的长度之和的最小值（用t表示）；

（2）试确定污水处理站P的位置，使所排三段水管的总长度最小，并分别求出此时污水处理站到两小区水管的长度．

例2：如图，阴影部分为古建筑保护群所在区域，其形状是以O1为圆心，半径为1km的半圆面.公路l经过点O，且与直径OA垂直.现计划修建一条与半圆相切的公路PQ（点P在直径OA延长线上，点Q在公路l上），T为切点. （1）按下列要求建立函数关系：

①设OPQ(rad)，将OPQ的面积S表示为的函数；

②设OQt(km)，将OPQ的面积S表示为t的函数. （2）请你选用（1）中的一个函数关系，求OPQ的面积S的最小值.

小结：1、本题所涉及的数学模型（及具体关系式、求最值方法）：

2、本题解题过程的思维导图：

例3.(2017·南通一检)如图，某机械厂要将长6 m，宽2 m的长方形铁皮ABCD进行裁剪．已知点F为AD的中点，点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处(点

4 lQTOO1AP

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C，D分别落在直线BC下方点M，N处，FN交边BC于点P)，再沿直线PE裁剪．

π(1)当∠EFP＝时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积；

4(2)若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由．

经典再现

融汇贯通

例4.（请尝试多种解法解决本题）

如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB,AC,根据规划拟在两条公路之间的区域内建一个工厂P,分别在两条公路上建两个仓库M,N(异于村庄A），要求PMPNMN2km.如何设计，使得工厂的噪音对居民的影响最小（即工厂与村庄距离最远）.

（三）专题强化

技能提升（请同学们在试卷答题纸上按大题解题要去逐一书写解答过程）

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1.（苏教版必修4第132页习题18）如图2，在半径为R、圆心角为的扇形AB弧上任3A P Q O 取一点P，作扇形的内接矩形MNPQ，使得点Q在OA上，点M,N在OB上，求这个矩形面积的最大值及相应的AOP的值.

B N M

（第1题图）

A

Q P

O M N B

（第2题图）

2.（2012南京二模改编）如图3，现在要在一块半径为1，圆心角为的扇形纸板AOB上3剪出一个平行四边形MNPQ，使点P在AB弧上，点Q在OA上，点M,N在OB上，设BOP，平行四边形MNPQ的面积为S.则S关于的函数关系式为

；

3.

（2013南京二模）如图，某广场中间有一块扇形绿地OAB，其中O为扇形所在圆的圆心，AOB60，广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在弧AB上选一点C，过C修建与OB平行的小路CD，与OA平行的小路CE，问C应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由．

4.如图扇形AOB是一个观光区的平面示意图，其中∠AOB的圆心角为2，半径OA为1Km，3为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A到出口B的观光道路，道路由圆弧AC、线段CD及线段BD组成。其中D在线段OB上，且CD//AO，设∠AOC=θ，

（1）用θ表示CD的长度，并写出θ的取值范围。

（2）当θ为何值时，观光道路最长？

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5.（2014南通一模）如图，一块弓形余布料EMF，点M为弧EF的中点，其所在圆O的半径为4 dm（圆心O在弓形EMF内），∠EOF=2．将弓形余布料裁剪成尽可能大的矩形ABCD(不3计损耗)，

AD∥EF，且点A、D在弧EF上，设∠AOD=2．

（1）求矩形ABCD的面积S关于的函数关系式；

（2）当矩形ABCD的面积最大时，求cos的值．

6.（2014苏锡常镇）一个圆柱形圆木的底面半径为1 m，长为10 m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形ABCD(如图所示，其中O为圆心，C、D在半圆上)，设∠BOC＝θ，木梁的体积为V(m3)，表面积为S(m2)．

(1) 求V关于θ的函数表达式；

(2) 求体积V的最大值；

(3) 当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．

7.（2015泰州一模）如图，我市有一个健身公园，由一个直径为2 km的半圆和一个以PQ为斜边的等腰直角PRQ构成，其中O为PQ的中点；现准备在公园里建设一条四边形健康跑道ABCD，按实际需要，四边形ABCD的两个顶点C、D分别在线段QR、PR上，另外两个顶点A、B在半圆上，AB//CD//PQ，且AB、CD间的距离为1 km；设四边形ABCD的周长为c km；（1）若C、D分别为QR、PR的中点，求AB的长；（2）求周长c的最大值．

QB

C

RMNO

DA

P

（第7题图）

（第8题图）

（第9题图）

8.(2017·南通三模)如图，半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图，半径OA的长为1百米．为了保护景点，基地管理部门从道路l上选取一点C，修建参观线路C－D－E－F，且CD，DE，EF均与半圆相切，四边形CDEF是等腰梯形．设DE＝t百米，记修建每15，0

(1)用t表示线段EF的长； (2)求修建该参观线路的最低费用．

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新题快递

规范熟练

9.（2018·南通泰州期末·18）如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F.（道路宽度忽略不计）

10.（2018·无锡期末·17）如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，CAB3，ABBD，BC弧是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线弧CP-PQ，其中P为BC弧上异于B,C的一点，PQ与AB平行，设PAB.（1）证明：观光专线弧CP-PQ的总长度随的增大而减小；

（2）已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路CP弧的单位成本的2倍.当取何值时，观光专线弧CP-PQ的修建总成本最低？请说明理由. C

B P θ

A 东

北

（第9题图）

（第10题图）

11.（2018·苏州期末·17）如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为100km，海岛A在城市B的正东方50km处．从海岛A到城市C，先乘船按北偏西θ角（≤π1，其中锐角的正切值为）航行到海岸公路P22处登陆，再换乘汽车到城市C．已知船速为25km/h，车速为75km/h. （1）试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式；

（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由．

链接真题

回味高考

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1、（2013年江苏18题）如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA123，cosC. 135（1）求索道AB的长；

A （2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，

B

乙步行的速度应控制在什么范围内？

C

3.（2014年江苏18题）如图,为了保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量，点A位于点O正北方向60m处, 点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),tanBCO（1）求新桥BC的长；

（2）当OM多长时,圆形保护区的面积最大？

北

B A 60 M m O 4. 3170 m C 东

七、总结回顾

反思内化

1.

本节内容涉及哪些基本模型？请列出相应的关系式并梳理解模方法反思其缘由；

2.

平面图形背景的函数类主线应用问题特别是角参为主的多变元问题，变元选择的“好”

的标准是什么？请进一步体会：解应用题的四步骤

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