3.2.1 对数优秀教案范文

聚焦核心素养，渗透数学文化

——以“对数的概念”教学为例

南京师范大学第二附属高级中学 张晓飞

教育部在关于全面深化课程改革中落实了“立德树人”根本任务的意见。面向未来教育要培养什么人，如何培养人，提出了《中国学生发展核心素养》的解决办法。在《普通高中数学课程标准》（2017年版）中数学文化是一个单独的版块，给予了特别的重视。数学文化是数学的思想、精神、方法、观点、语言，以及它们的形成和发展，还包括数学家，数学史，数学美，数学教育。数学发展中的人文成分、数学与社会的联系数学与各种文化的联系等等。笔者在2018年9月27日扬州市教育局组织的“名师送教”活动中，应邀开设了一节题为“对数的概念”的公开课，关于在课堂教学中如何切实的聚焦数学核心素养，渗透数学文化有了一些感悟，特与大家交流。

1

整体教学设计意图

追溯对数的历史，呈现对数的起源，感知对数研究的必要性，体会知识自然发展的过程，激发学生的学习热情。类比根号的出现，引入新的对数符号，再由特殊的对数得到一般化的对数的概念，根据指数和对数的密切关系，深化对数的概念。在整个教学过程中，不断地体现数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析的数学核心素养，也将数学史等数学文化融入到课堂内容。

1.1

教材分析

“对数的概念”是苏教版必修1第3章对数函数的第1课时。它是学习对数运算和对数函数的基础，而对数函数是在指数函数的基础上，对函数类型的拓广，同时也是实际生产生活中一个重要的函数模型。学习对数的概念是对指数的概念和指数函数的复习和深化，通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念及其运算性质，让学生感受对立统一，化归与转化的思想，能用相互联系的观点辩证地看问题，培养他们数学地分析问题的意识。

1.2

学情分析

本节课是针对县级普通四星级高中高一学生开设的，在理论体系层面，学生的诸多学习数学的思想方法还停留在初中，且对数学史等数学文化接触不多，对2017年版的普通高中数学课程标准的了解更是少之又少。在知识层面，有了学习指数的概念和指数函数的学习经验和基本知识。了解了函数研究的一般方法，经历了由特殊到一般，具体到抽象的研究过程。因此，学生已初步具备了探索发现研究对数定义的认识基础，通过引导，教会学生独立思考、大胆探索和灵活运用类比、等价转化、归纳等数学思想方法的学习。

1.3

教学任务

本节课的核心任务是“什么是对数”，“为什么要研究对数”，“怎样研究对数”。以问题为动力，学生为主体，数学核心素养为主位，穿插数学史，充分展开自主学习和合作讨论，让学生亲身体验数学发现和创造的过程，培养和提高学生的创新能力，体验探究的乐趣，波利亚说过“学习任何知识的最佳途径都是自己去发现，因为这种发现理解最深刻，也最容易掌握其内在规律、性质和联系。”

教学目标

（1）理解对数的概念及其运算性质；

（2）会熟练地进行指数式与对数式的互化；

（3）了解对数恒等式；

（4）了解对数的发明历史以及在简化运算中的作用。*项目基金：本文是江苏省中小学教学研究室第十二期教研立项课题“HPM视角下高中数学教学设计的实践研究”（2017JK12-L210）的阶段性成果之一.

教学重点：（1）对数的概念；（2）对数式与指数式的互化。

教学难点：对数概念的形成。

教学方法：自主探究和合作讨论。

2

教学过程设计

2.1

创设情境，概念生成

师：前面我们研究了指数和指数函数，今天我们一起来学习对数。伟大的导师恩格斯在《自然辩证法》中写到：纳皮尔的对数，笛卡尔的坐标系，牛顿、莱布尼茨的微积分共称十七世纪三大数学发明。那什么是对数？为什么要学习对数呢？在16世纪哥白尼发现日心说之后，科学家们对宇宙的研究热情高涨，而我们身处的宇宙既精彩绝伦又深邃莫测，随着人类认识宇宙的不断深入和人类社会的进步，对计算速度和精确程度的要求愈来愈高，比如要计算土星和地球的距离，不免要进行下列计算：299792.46831536000?同学们不妨动手试试。

师：一分钟过去了，好些同学还没有计算完，这数字太大了。299792.468是光在真空中的传播速度（千米/秒），31536000是一年的秒数，所得结果是一光年，这是天文学中的基本单位，在当时没有计算器的条件下，众多天文学家们就把大量的宝贵的时间耗损在这繁琐而又枯燥的计算中，往往一个行星的位置能花费几个月甚至几年的时间，同时，数学家们也深有同感，觉得没有什么比大数的乘、除、开平方或开立方计算更让他们头疼、更阻碍计算者的了，不仅浪费时间，而且容易出错。那能不能改进大数计算呢？能不能把大数运算转化为小数运算？能不能把乘、除、乘方、开方运算降格为加、减、乘、除运算呢？

师：请大家计算32128,641024。

,64102465536. 生:321284096师：计算正确。请大家看下列一张对应表。

x

1 2 3 4 5 6 64 7 128 8 256 9 512 10 1024 y2x

x

2 4 8 16 32 11 2048 12 4096 13 14 15 16 17 18 262144 19 524288 20 1048576 y2x

8192 16348 32768 65536 131072 师：由这张表格再求32128,641024。

生:由表格可知：232，2128，264，21024，所以32128222，57610571264102426210216，再由表格可得321284096,64102465536。

师：很好！那能不能将这类计算一般化呢？比如需要计算MN. mn生：由表格的对应关系找出M2,N2，则MN222mnmn，再由表格找出mn对应的值即为所求。

师：特别棒！这真是前苏格兰数学家约翰.纳皮尔的对应思想，经过20多年的努力，他在

1614年发表了《奇妙的对数表的描述》。伟大的物理学家伽利略对此提到“给我时间、空间、对数，我可以创造出一个宇宙来”。那有了这种对应思想，是不是就可以解决开头的大数计算问题呢？要计算299792.46831536000，首先要找到299792.468所对应的幂，即2?299792.468，存不存在这样的数呢？如果存在，有几个呢？我们不妨先研究简单情况。方程23有解吗？解唯一吗？

x生：有解，而且解唯一。可以作出y2和y3两个函数的图像，只有一个交点，所以方x程只有一解，而且交点的横坐标就是方程的解。

师：很好。那这个解我们可以表示出它吗？

生：暂时不能。

师：在我们之前的学习过程中，有没有遇到过类似的困难。明明是一个数，这个数由2和3唯一确定，但在我们目前有限的知识范围内无法表示，后来又是如何解决的？

生：在学习解方程x3时，我们遇到过。当时我们引入了一个新的符号“2”。

x师：同理，我们今天又遇到了类似的问题，我们也可以引入一个新的符号“log”，方程23的解可以记为log23，读作“以2为底3的对数”。

师：能不能将对数的概念一般化呢？

一般地，如果a(a0,a1)的b次幂等于N, 就是aN

那么数

b叫做

a为底

N生：的对数,记作logaN，a叫做对数的底数,N叫做真数。

设计意图：

数学概念教学是数学教学的第一环节，是学生学习和探究知识的基础，学生是否兴趣盎然，是否印象深刻是概念教学成功地关键，因此，如何设计概念教学，如何引导学生探究和学习，如何提升学生对概念教学认识，是每一个老师在上概念课时迫切需要解决的问题。而常常的数学概念教学中，教师只注重概念的严密性，导入方式过于学术化，教学过程一般是先引进概念，再加几点注意，然后就开始大量的解题练习，这样的教学机械、死板、千篇一律，严重挫伤了学生对概念学习的积极性，从而也会使学生逐步丧失学习数学的兴趣和热情。

概念教学要坚持三条原则，即循序渐进原则、发展性原则和学生参与性原则。本节课从历史天文学上的大数计算入手，很大程度上激发了学生学习的热情，并促使学生思考：大数计算可以进行，但耗时耗力，能不能简化计算。再进一步引导以2为底的幂指数的积的计算，附以表格后的简化计算，从特殊到一般，归纳出一般规律，渗透数学抽象，数学运算和数据分析的数学核心素养。进而从复杂到简单，解决方程23的解的问题，类比根号的出现，引入新符号“log”，再由学生抽象出对数的一般概念，在此环节中将具体数字抽象成字母，又从具体问题抽象出一般理论，极大程度的培养了学生的逻辑推理和数学抽象的素养。补充数学史的素材，增加数学的运用方式，不仅丰富了课堂，更将数学史的与人使命体现的更到位。在整个概念生成的过程中，开始的数学史的介入，很大程度上激发了学生的学习兴趣，学生积极参与，热烈讨论，随着问题的不断深入使学生感受到科学的发展源于实际生活，使

xb

学生意识到完善知识的重要性，对问题钻研和思考的必要性，促使学生形成锲而不舍的钻研精神和严谨的科学态度。

2.2

数学建构，深入理解

师：由对数的概念可知，对数与指数密切相关。18世纪，欧拉深刻揭示了指数与对数的密切联系，他曾说：“对数源出于指数.”在指数式aN中，a称为底数，b称为指数，N称为幂，那在对数式logaNb中相应的字母也有它的含义，a仍称为底数，b称为真数，bN称为对数。

师：你能写出几个对数吗？（学生活动）

投影：log24，log31，log33，log12

2师：这个同学写的很好。当然我还看到下面有同学写了这样一个数log2(4),对吗？

x2生：不对。因为方程4无解。

师：那对数式中的a,b,N有哪些限制条件？

生：由指数和对数的关系可得，底数a0,a1，真数N0，bR。

师：非常正确。目前我们对对数还不是很熟悉，所以可以用指对数的关系来加深对对数的理解。再看投影的几个数，你能求出对数值吗？

生：log242，log310，log331，log121

2师：你能从中得到什么结论吗？

生：由第二个对数可以猜想loga10(a0,a1)，由第三个对数可以猜想logaa1(a0,a1)

师：猜想结论成立吗？

生：成立。我们还是可以用指数来理解，因为当a0,a1时，a1,aa。

师：正确。这两个对数式是我们以后常用的结论。aNlogaNb(a0,a1),在这个关系式中，将指数式带入对数式，再讲对数式带入指数式，又能得到什么结论呢？

生：alogaNb01N,logaabb(a0,a1)

师：这两个等式我们成为对数恒等式。

设计意图：

关于概念的深入理解都是概念课的重点，老师要重在启发引导，学生自主探究，自我发现，有错及时更正，不能一味包办，填鸭式处理。一般的概念都有它的内涵和外延，包括所有一个组成概念事物的特性和关系。

本节课的概念理解这部分的处理以学生自行写的几个对数为入口，再由指数和对数的密

切关系得到对数的两个常用结论和两个重要的对数恒等式。有效的培养了学生的数学抽象和逻辑推理的素养。

2.3

数学应用，方法总结

师：指数和对数之间有着密不可分的联系。请同学们处理例1和例2. （生黑板板演，其他学生点评）

例1：将下列指数式改写成对数式。

11a3216520（1）（2）（3）（4）0.45

27243b例2：将下列对数式改写成指数式。

（1）log51253（2）log132（3）log10a1.699

3练习：求下列各式的值：

（1）log264（2）log101（3）log927

100生总结方法：（1）可以转化为指数式解决；（2）可以用结论处理。

师：两种特殊的对数，（1）常用对数：以10为底的对数，在计算机发明之前，以10为底的对数在复杂的数值计算中是常用的工具，故有常用对数之名。数学家布里格斯首先提出将对数改良为便于计算的以10为底的常用对数，为了纪念他，常用对数亦命名为布里格斯对数。记为log10N，简记为lgN。（2）自然对数：以常数e为底的对数，e2.71828是一个无理数，它在物理学，生物学中有重要的意义。记为logeN，简记为lnN。

设计意图：

例1和例2是使学生更加熟悉对数式和指数式的相互转化，练习则是促使学生更好的理解对数是一个数，加深对对数的理解，对数问题除了可以用指数问题来解决之外，对数也有自身的特点，并熟悉对两个结论的应用，对于练习（3）是为了下节课的对数运算做准备。

2.4

回顾反思，总结提升

师：回顾本节课的学习过程，思考什么是对数？为什么要研究对数？研究对数的基本方法是什么？

生讨论，相互补充：对数是一个数，为了解决大数运算问题，将复杂的大数的乘、除、开方、立方等运算转化为简单的加减运算，数学家们提出了对数的概念。我们在研究对数时，先感受生产生活的必要性，再由特殊到一般建立起对数的概念，由特殊的数加深对对数的理解，在解决对数问题时可以化归和转化为指数的运算。

师：有关对数的问题，我们有没有研究结束？如果没有，下面我们将研究什么问题？

生：类比指数的学习以及练习（3）的启示，我们应该还要学习对数的运算。

师：很好，有关对数的运算性质，请同学们先思考，我们下节课讨论。

设计意图:

事前有沙盘,事后有复盘。复盘中回顾、反思、探究、提升，一个都不能少，回顾就是回顾学习的过程，反思就是反思原因，探究就是探究规律，提升就是提升能力。复盘环节做得好，可以对知识有更深的认识和体会。

本节课的总结，是请学生在回顾本节课的学习流程的基础上进行的，反思本节课学习的知识和方法，主要让学生体会探究一个新数的一般方法，提升自主学习的能力。有助于对学

生数学抽象素养的培养。

2.5

因材施教，分层作业

（1）必做题：课本P74 练习3,4,5,7 （2）选做题：查百度百科,了解我国数学史上关于对数的研究。“以借数与真数对列成表，故名对数表，其法以加带乘，以减带除。以加倍带自乘，故折半即开平方，以三因带再乘，故三归即开立方。推至至于诸乘方，莫不皆以假数相乘而得真数。盖为乘除之数甚繁，而以假数带之甚易也。”——《数理精蕴》（清康熙皇帝主编）

设计意图:

数学作业是一项常规工作，同一个班级的学生在知识能力、学习态度、学习方法、学习兴趣等方面存在较大的差异。分层作业，尊重个体差异，体现了以人为本，以学生为主体。2017版普通高中数学课程标准中提出：高中数学课程面向全体学生，实现：人人都能过的良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。

本节课的分层作业，满足了基础生基本知识基本能力的需要，而对优等生，对数学感兴趣的学生，又体现了从课内到课外的一种学习，对数学史的了解能更加的促使这部分学生对数学的学习兴趣，体会前数学家们在数学上的拼搏钻研精神，使他们能在数学上有更好的发展，走得更远。

参考文献

【1】钟

萍，汪晓勤.对数概念：从历史到课堂【J】.中学数学月刊.2015.5:50-53